CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
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axe, qui paraitra lui-meme entraine d'un mouvement de rotation tres lent an tour de O:,, les deux mouvements de rotation se faisant tons deux dans le sens positif on tous deux dans le sens negatif autour de leurs axes respectifs O^i et OG.
Ges proprietes sont mises en evidence dnns la balance gyroscof>ique. Get appareil se compose de deux corps pesants de revolution M, m montes sur la memo tige AOA', mobile autour du point O, a Paide d'uue suspension a la Cardan, par exemple. En faisant glisser la masse m sur la tige, on pourra amener le centre de gravite* du systeme sur Tune ou l'autre des demi-droiles OA,
OA'. Si nous faisons tourner rapidemeut le systeme autour de OA dans le sens positif et que nous 1'abandonnions a lui-meme, nous verrons l'axe OA tourner autour de la verticale dirig^e vers le haut dans le sens positif si le centre de gravite est sur OA, et en sens contraire s'il est sur OA'. Dans le cas particulier ou le centre de gravite serait an point de suspension, la rotation se continuerait indefiniment autour de l'axe OA qui resterait immobile. Getle droite serait, en effet, dans ce cas, un axe permanent de rotation.
On rencontre, dans cette the'orie, le premier exemple d'un paradoxe qui se presente constamment pour les solides de revolution en rotation rapide autour de leur axe. L'axe OGA de la toupie ('taut maintenu immobile pendant qu'on iiuprirne a la toupie une rotation ires grand e r0 autour de l'axe, il semble, quand on aban- • lonne le corps a lui-meme, que la pesanteur doit deplacer l'axe dans le plan vertical ( )A : au contraire, l'axe, apres avoir un pen fUchi, sort de ce plan suivant une direction a /><jn pres perpen-
2o6 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
diculaire au plan et d^crit sensiblement un cone de revolution autour do Oz-i*
Avec ces conditions initiales particulieres, il est aise d'avoir des valeurs approchees de 0, cp, <\> en s'appuyant sur ce que r0 est tres grand.
Comme u0 — u, c'est-a-dire cos00 — cosO, est de 1'ordre de il en est
de meme de 0 — 0O, et l'on peut poser 8 = 60 H — \ i oil i\ reste fini. Alors
u = cos 6 = cos 60 \ sin 0o = u0 \ sin 0o,
en dcveloppant cos ^0o-h ^, ^ en serieet prenant les deux premiers termes. Portons dans (56) et developpons de meme le deuxieme membre par rapport aux puissances croissantes de -> en ne gardant que le premier terme;
nous aurons
Gette equation donne par 1'in version
a sin 0O/ 7 jN D Q « sin 0O . , ^
■r\ — j— (i — cos or0t), 0 = 0o H 2 (i — cos br0t).
n - A , d<b do -i\ sin 0O , Remplacant de meme, dans -~ et -~ i u par w0 — 5 — et se bornant
CLt clt V 0
aux premiers termes du developpement suivant les puissances croissantes de ~ ? on a
d<h a . do
~k = -7 — ( 1 — cos br0 1 ), = r0 ;
dt ibrQ . at
d'ou, en integrant et supposant que 9 et <b s'annulent avec t, a I sin&r0A
Les valeurs de 0 et <L definissent le mouvement de 1'axe Oz; si l'on y negligeait les termes periodiques, elles definiraient une droite faisant un angle constant avec Ozy et tournant avec la vitesse angulaire con-
es
stante —
Toupie dormante. — Dans le cas particulier que nous venons de de'velopper, nous avons suppose fo= qo = o, mais o< 0O< ~. Voyons ce qui se passe quand 0O est egal a o ou a re.
Prenons, par exemple, le cas 0O = o, u0 = 1 : l'axe de la toupie est alors
