CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE. ?.OI

l'arc de parallele zm et l'arc de meridian mz1 ; dans ce triangle, Tangle en z est V, Tare mz1 est dO, Tare mz est sin 0^, car le rayon de cet arc est sin 9 (fig. 2.^2, I). Comme nous dvons pos6 cosO = u, nous avons

tangV = -r-1 — L;

5 du '

011, d'apres (54),

8 — br0 a

(55) tangV

I, 'angle V est droit chaque fois que u prend une des .valeurs uK et u2 qui annulent f(u). La courbe est done bien tangente aux deux cercles (Jig. 2^2, I el III). II y aurait exception dans le cas particulier ou une des limites uL et u2 annulerait le numeraleur 'o u ; sur le cercle correspondant, tangV serait alors nulle et la courbe presenterait des rebroussements sur ce cercle {jig. 232, II). Nous verrons, plus loin, que ce fait ne peut se presenter que sur le cercle sup^rieur Co.

Pour voir quelles sont les diffe rentes formes de cetle courbe, vovons dans quel sens tourne sur la sphere l'arc vecteur zs z.

D'apres la relation

dy d<ty (3 — bi-Q u dt dt 1 — u- '

si La valeur A? qui annule le numerate ur, n'est pas comprise entre les limites U\ et u%, f~ garde constamment le meme signe,

el l'arc vecleur z\ z tourne to 11 jours dans le meme sens; la courbe

a alors la forme I (fig. 282); si ~~ est compris entre U\ et

est tantot positif, tantot n^galif, l'arc vecteur zLz tourne tanlot dans un sens, tantot dans I'autre; la courbe a la forme III {Jig. 232); si ~- est egal a l'une des limites. ~ conserve encore

le meme signe : ma is alors la courbe a des rebroussements sur le cercle correspondent a cetle limite {jig- 232, II).

Ces trois cas se distinguent facilement d'apres les conditions

initiales. Lorsque ~- est, en valeur absolue, plus grand que i, il ne peul pas etre entre les limiles uK et u2- Lorsque la valeur absolue de est plus petite que i , le r^sullat de la substitution de

cette quantity dans f(u),

est du signe de a — ~j suivant que ce facteur est positif ou negatif, est ou non entre les limites Uy et u2. Dans un cas

intermediaire, a — |^ peut etre mil; alors i est egal a l'une des

limites u{ ou u>\ il est ais£ de voir que e'est toujours a u2- En efTet, nous supposons

alors /(m) devient, en remplacant a par cette valeur,

Une des racines comprises entre — i et 4- i est en evidence; l'autre doit annuler la quantite entre crochets, elle rend done

^ u positif et elle est moindre que -~ : e'est done la plus

grande racine u2 qui devient egale a • Les rebroussements sont

done sur le cercle G2. Ge dernier cas se pr^sente dans les conditions initiales du num^ro suivant, faciles a realiser.

Dans le cas de la forme III {fig- nous avons admis, pour

faire la figure, que la variation totale de ^ correspondant a une periode d'oscillation complete de u, de ux a u2 et de u2 a iti, est differenle de zero et de meme signe que la variation el^mentaire de cet angle au moment ou u atteint sa plus petite valeur Ui. La demonstration rigoureuse de cetle propriel^ nous enlrainerait trop loin : on la retrouvera dans une Note de M. Hadamard (Bulletin des Sciences mathematiques, i8g5, lrc Par tie, p. 228).