CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
vertical a Finstant initial, le centre de gravite au-dessus de la pointe, et la toupie est mise en rotation autour de cet axe avec une vitesse r0. 11 faudra alors, dans les formules precedentes, faire u0 = 1 ; on a ainsi
(57) (^~\ =(i—uy-[a(i-hu)—0*rl].
Dans ce cas, le polynome f(u) formant le deuxieme membre de
admet la racine double 1 et une racine simple supericure a — 1.
Dans ces conditions, l'axe de la toupie reste vertical : en effet, u etant un cosinus, et partant de 1, ne pent que rester constant ou diminuer : il faut done, en extrayant la racine carree des deux membres de (57), prendre
la valeur negative de ^« Le temps que met u a acquerir une valeur difle-
rente de 1 est alors donne par l'integrale
du
(1 — u) \J a(i -+- u ) — b'lrl
qui est injinie, car le coefficient de du contient le facteur 1 — u au denominateur. Done a ne peut pas acquerir une valeur diflVrente de 1 : l'axe de la toupie reste vertical. On a ainsi ce qu'on appelle la toupie dormante. II resterait a chercher dans quel cas le mouvement ainsi obtenu est stable.
Supposons que I on mette la toupie en rotation toujours avec la meme vitesse /'0 autour de son axe de symetrie, mais que, dans l'instant initial, 0o au lieu d'etre rigoureusement nul soit seulement tres petit, e'est-a-dire que u0 soit tres voisin de 1. Le mouvement etudie sera stable si u reste voisin de 1, instable dans le cas conrraire. Or, d'apres ce qui precede, 11 reste compris entre ii0 et une autre racine Ui de f(it) comprise entre — 1 et -hi. II faudra done pour la stabilite que Ui soit, comme u0j tres voisin de 1. En d'autres termes, il faudra que la vitesse de rotation r0 soit telle que, dans le trinome en w,
a{\ — u-) — b2r%(uo— u),
la racine iiy comprise entre ■ — 1 et -h 1 soit tres voisine de 1 en meme temps que u0. Cette condition sera rernplie si r0 est suffisamment grand. On pourra cousulter a ce sujet une Note de F. Klein, traduite dans les Nouvelles Annales de Mathematiques pour 1897.
