Integration par les fonctions elliptiques. — Inequation

du du

dt = ■ • .... =

V7./ { u ) ya{u — u 1 ) ( u2 — u ) ( 11 — u )

donne // en fonction uniforme de t par une fonction elliptique. Poui rca-

liser cette inversion, il suffit d'employer la methode meme qui a etesuivie mi sujet du pendule spherique, en f^isant jouer aux racines U\, w2, u' le meme role qu'aux racines a, (3, 7 dans le pendule spherique ( n° 277 ). Cette anah>gie n'a rien de surprenant : elle peut allrr jusqu'a I'identite complete, car le probleme du pendule spherique est un cas tres particulier du probleme acluel, le cas ou le corps pesant se. reduirait a un seul point place en son centre de gravite.

Une fois u 011 cos 8 exprime en fonction de t, les equations

db (3 — br0 u d% 3 — bn, u

dt 1 — u- dt 1 — u1

donnent egalement et <p en fonction de t par des quadratures poriant sur des fonctions ellipti [ues et pouvant, par suite, etre eflectuees a laide des fonctions 0 et H de Jacobi. La quantite u est une fonction elliptique

de t avec une periode reelle T,

au bout du temps T, u, ~ et ^ reprennent les memes valeurs : done au

bout de cette periode 0 redevient le meme, <l et 9 augmentent de constantes. Nous ne de\ elopperons pas ces calculs pour le* |uels nous renverrons a un Memoire de Lottner {Journal de Crelle. t. 50); aux Traites d'Halphen et de Greenbill; aux Priticipes de la Theorie des F notions elliptiques, pur Appell et Lacour; a l'Ouvrage de Klein et Sommerfeld (Ueber die Theorie des Kreisels), et a une Note de Lacour (Ar uvelles Annates de MathematiqueSj V serie. t. XVIII, 1899).

On trouvera dans le Memoire deja cite de Greenbill ( Proceedings of the London Mathematical Society, vol. XXV) d int eressants exemples de reduction des integrales elliptiques figurant dans la solution generate a des integrales pseudo-elliptiques. Nous en indiquerons quelques exemples. particulierement elegants, aux Exercices.

398. Representation cinematique du mouvement. — Dans le Tome II de la nouvelle edition des OEuvres de Jacobi ont para, pour la premiere fois, des fragments d'un travail que Pi I lust ie ge<»metre avait prepare sur 1c mouvement d'un corps pesant de revolution suspendu par un point de son axe. Jacobi enonce ce theoreme remarquable que le mouvement du corps peut se ramener a la superposition de deux momements a la Poiusot. Dans une Note inseree au Tome G des Comptes rendus, Halphen a donue a ce theoreme une autre forme en enoncant plusieurs resultats nnuveaux. Darboux a con^acre a la meme question un important Memoire {Journal de Mat hematic/ ues, 18 So) et plusieurs Notes placees a la fin de la Mecanique de Despeyrous. A. de Saint-Germain a expose ces resultats