CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
dans un Resume de la the > t ie du mouvement cCun corps solide autour dun point fixe (Librairie Gauthier-Villars, 1887). Enfin Greenhill a developpe cette theorie au point de vue de ses rapports avec les fonctions elliptiques dans une Note inseree a la fin de V Annual re des Mat he mat iciens, edition de 1902 (Carre et Maud). Les limites de cet Ouvrage ne nous permettent pas d'exposer en de'tnil ces propositions. Nous en signalons les points essentiels dans les Exercices faisant suite an Chapitre, en indiquant sommairement les demonstrations (Exercices 16 et suivants).
399. Cas d'integrabilite de Mm(> Kowaleski. — Dans un Memoire couronne par PAcademie des Sciences de Paris, en 1888, et insere au Tome XII des Acta mathematical Mme Kowaleski a donne un nouveau cas d'integrabilite des equations du mouvement d'un corps solide pesant autour (Tun point fixe. Yoici d'abord la forme sous Iaquelle Mme Kowaleski prend les equations du mouvement.
Appelons comme precedemment 7, y'j X" 'es cosinus des angles que font les axes lies au corps Oxyz avec l'axe tixe Ozi, vertical vers le haut, et
Tjj £ les coordonnees du centre de gravite G par rapport a ces axes, coordonnees qui sont des constantes. Le poids P a pour projections sur les axes mobiles xyz
-py, -py pT",
et pour moments par rapport a ces axes
L=- P(7)Y"- W), M. = - P(fr - ?T"), N = - P«r- r,Y ). Les trois equations d'Euler deviennent done
( A^+(C-B)^ = P(C7,-Tr"),
(58) j B ^ + (A - C) rp =* P(£T«-
f c ^ + (B - k)Pq = PC-nr -&).
A ces equations joignons les trois suivantes, deja donnees par Poisson : si. sur l'axe Os,, on porte un segment OH egal a I'unite, l'extremite H de ce segment a pour coordonnees, par rapport aux axes mobiles Oxyz, V el 7 La vitesse relative Vr de ce point H, par rapport aux axes mobiles .1 done pour projections sur ces axe9
d'{ d'( dy" dV ~di ' It '
la \itesse d'entrainement Ve du mcme point, dans le systeme des axes mobiles, ;i pour projections sur ces axes
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appsll. — TraitS d<- Micauique. it. 1
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la vitesse absolue de ce point a alors pour projections sur les axes mobiles
les sommes des projections de la vitesse relative Vr et de la vitesse d'en-
trainement Ve (n° 45). Mais, comrae le point II est immobile, sa vitesse absolue est nulle : on a done
dj dt
— ry = o.
Ges equations, jointes aux equations (58), forment un systeme de six equations du premier ordre de'finissant p, q, r, 7, 7', 7" en fonction de t.
On connait, de ce systeme, deux integrales algebri [ues en />, q, r. Y, 7', Y* fournies par les theoremes generaux; ce sont (n° 394) l'integrale des forces vives et Tintegrale des aires sur le plan horizontal a;iO/i : a ces integrales nous pouvons joindre la relation evidente
La question est alors de decouvrir une nouvelle integrale. Dans le cas de Lagrange et Poisson (A = B, -j = r, = o), cette nouvelle integrale est r = r0. Dans le cas de Mrae Kowaleski, on suppose encore I'ellipsoi'de d'inertie de revolution, mais on le suppose particularise de facon que
on suppose de plus le centre de gravite G dans le plan de I'e'quateur, 'C = o. Dans ce cas. on peut toujours choisir, comme axe Ox lie' au corps, l'axe OG situe dans le plan de l'equateur et faire ainsi que t( = o. Les trois equa-
tions (58) s'ecrivent alors. en posant = c.
dp dq dr
Multipliant la deuxieme par i et ajoutant a la premiere, on a
2 ^ ( /> -+- iq) = — ri{ p -+- iq)+ cyfi.
De meme, multipliant la deuxieme des equations (59) par i et ajoutant a la premiere, on a
^(t — *Y)=— "(7 + *Y) h- fi(p -+- iq)-
