CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
L'elimination de y* entre ces deux rquations donne
(fjt lip ■+■ iqY-— c(y + 4Y)j = — "TO ■+- *'?)-— c(v -+■ *Y)]
du encore
dlo^[ip-h ic/)-~ (■(■; ■+■ /:-;') | ^ , dt "'
En eltangeant i en — i, on a une deuxieme relation de meme forme; cette nouvelle relation, ajoutee a la preccdente, donne
d log [Cjg-f- /y )2 — c (y -h ? v ' ) | ^ j log | ( p — / y )- — c(y — t y ') ]
d'ou, en integrant et passant des logarithmes aux nombres,
[( P ■+■ if/)2— c(y -+- *y')] [CP — ^)2— <;(y — i y')] = const.
On a ainsi une nouvelle integrate algebrique. Le probleme peut alors s'achever par des quadratures comme on le verra dans le Memoire de Mme Kowaleski. Des methodes plus simples de reduction aux quadratures ont ete donne'es par Kotter (Acta math., t. XVII) et par Kolossoff (Maht. {'i nal en , Band LVI).
Cas general. — Ed. Husson a demontre que, en dehors de trois cas que nous venons d'etudier (cas d'EuIer et de Poinsot, cas de Lagrange et de Poisson, cas de Mmc Kowaleski), il est impossible d'obtenir une troisieme integrale algebrique, distincte de celles des forces vives et des moments, pour le mouvement d'un solide pesant suspendu par un point, l» s conditions initial es etant arbitraires. [Voir Ed. Hi.ssox, Recherche des integrates algebriques dans le mouvement cVun s lide pesant autour d 'un /> int fixe {These, Annates de la Faculte des Sciences de Toulouse, -ric; t. VIII, 1906); Sur un theoreme de M. Poincare relativemenl au mouvement d'un solide pesant (Acta mathematica, t. XXX!, 1908).]
On pourra consulter egalement deux articles de M. Paul Stackel (Ausg ezeichnete Bewegungen des schweren unsymetrischen Kreisels (Mathematische Annalen, t. LXV, 1908), et Die reduzierten Differential gleihhungen der Bewegung. ... (/bid., t. LXVII, 1909).
Conditions initiates particulieres. — Des conditions initiates particulates peuvent permettre Integration dans des cas autres que les trois cas classi jues. C'est ainsi que, dans le cas particulier caracterise par Z, = o, A = B = 4C, on peut ramener l'integration a des quadratures lorsque la constante des aires sur Ic plan horizontal est nulle. Voir un article de Koi.ossof, Sur le cas de M. Goriatchojff de la rotation d'un corps pesant autour d'un point fixe (Rendiconti del Circolo di Palermo, 10 aout 1902), sum d'observations de Marcolongo.
Un autre cas particulier est indique dans l'article intitule : Fine neue particul&re Losung . . ., von Nicolaus Kowaleski (Math. Annalen. t. fA\ .
IV. — AUTRES PROBLfiMES; EMPLOI D'AXES MOBILES DANS LE CORPS ET DANS LESPACE; FROTTEMENTS ET RESIS- TANCES DE MILIEUX.
MM). Exemple de l'emploi d'axes mobiles dans le corps et dans I'espace pour obtenir les equations generates du mouvement d'un solide de revolution suspendu par un point de son axe. — Nous avons indique\ dans le n" 386, une m^thode generate pour former
Fig. 234.
les Equations du mouvement quand on emploie des axes mobiles dans le corps et dans I'espace. Nous donnerons ici une application de cette m^thode, en considerant le cas particulier d'un corps de nature telle que l'ellipsoide d'inertie relatif au point fixe O soit de revolution. Les equations que nous obtiendrons ainsi ont etc employees par Puiseux dans la theorie du mouvement de la Terre autour de son centre, par Resal et par Slesser ( Quarterly Journal, 1S61).
Les axes fixes etant appelcs OxKy±zu et l'ellipsoide d'inertie relatif au point O etant de revolution, prenons les axes mobiles suivants : soit d'abord (); l'axe de revolution; l'axe Ox sera perpendiculaire au plan ;,0; (fig. 234) et l'axe Oy perpendi-
