CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
culaire an plan xO z dans un sens Lei que le triedre Oxyz ail. la meme orientation que le triedre Ox^y{zs.
Dans ces conditions, I'axe Ox est dans le plan x^Oyi el la
posilion du triedre mobile est delinie par Tangle <l> = XiOx, compte positivement dans le sens positif des rotations an lour
de O^i, et par Tangle 0 = zxOz compte positivement dans le sens positif des rotations autour de Ox. Pour determiner la rotation instantanee il du triedre de reference Oxyz, remarquons que Ton amene ce triedre de la position actuelle a la position infiniment voisine par une rotation db autour de O^i suivie d'une rotation S)
autour de Ox. La rotation 12 du triedre est done la re\sullante
de deux rotations tj/= ^autour de Ozt et 0'= ^autour de Ox,
el ses composantes P, Q. R, suivant 0;r;, sont
i 0) P = 0', O = 0/ sin 0, R = «]/ cos 0.
Quant a la rotation instantanee w du corps solide, on Tobtient comme il suit. Une fois et 0 connus, la position du triedre Oxyz est connue, et il ne reste plus qu'a definir la position du solide par rapport a ce triedre; pour cela, il suffit de connaitre Tangle o que fait une droite OA invar iablement liee au corps et situee dans le plan xOy avec Taxe Ox, cet angle etant compte positivement dans le sens positif des rotations autour de Oz.
On amene alors le corps d'une position a la position infiniment voisine en le faisant tourner des angles dty, <i0, dy autour de Oz-i,
Ox et Oz: la rotation instantanee co du corps est la resultante de trois rotations 0', d autour des trois memos axes. etTon a, pour les composantes de cette rotation,
( ") i p = 0'. q = Y sin 0, r == : -V cos 6 -+- ©'»
Moment cinetique resultant. — Comme Tellipso'ide d'inertie en O est de revolution autour de Oz, les axes O.r, Oy, O; sont des axes principaux d'inertie, et les moments d'inerlie par rapport .i i )./ el ( )y sont egaux a une meme constante \, quoique ces axes 5e deplacent dans le corps. L'extremile cr du moment einctique
21 i DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
resultant 0<r par rapport a O a pour coordonn^es, par rapport aux axes mobiles.
(60) g.c= Ap, <sy= Aq, (7S;= Gr.
Equations du mouvement. — Appelons OS le moment resultant des forces par rapport a O, et
S.r? Sy, S-
ses projections sur Ox, Oy, Oz. On obtiendra les equations du mouvemenl (n° 383), en £crivant que la vitesse absolue du point a
est eV|uipollente a OS; on a ainsi les irois equations generates du n° 386
Actuellement, crr, oy, tsz ont les valeurs ci-dessus (60); en outre, on a
P =p, Q = q, Pi = <7cot0:
les Equations deviennent alors
I A^ -h(G/- — Aqcolb)q = S,-.
(61) ( A ^ — (Gr — A^cot6)>== Sr,
En y remplacant gr, r par leurs expressions ci-dessus, designant les de>iv£es par rapport a t par des accents, et reduisant,
on a
A 0"— A<I/2 sin 0 cos 0 -4- Crd/sin 0 = S.r, A<!/' sinO -4- 2Ad/0'cos0 — CrO' = Sv,
dr <r/(cp'-h -V cosO)
aft aft
Ces equations sont surtout utiles dans le cas ou, S- elanl nul, les moments S(. et Sv sont independants de 0 e'est-a-dire de
