CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
l'angle donl le corps a lourne autour do son axe. Alors /' est constant et les deux premieres equations dcfinissent 0 et en fonction de t. G'est ce qui se presente dans la mothode donnee par Puiseux pour le mouvement de la Terre autour de son centre de gravity.
On peut remarquer que l'on obtient I'equation des forces vives en multipliant la premiere de ces equations par <i0, la deuxieme par sin 0^, la (roisieme par rdt, et ajoutant. On a ainsi
d - | A ( 0'a h- ^'a sin2 0 ) -+- C r2] = S.r o?0 -h Sr sin 8 dty H- S- /• dt .
401. Sur quelques proprietes des solides de revolution en rotation
rapide. — Lors |u'un solide de revolution suspendu par nn point de son ave est anime d'une rotation rapide autour de son axe, et qu'on es>aie de changer la direction de l'axe dans I'espace en appliquant des forces en des points de l'axe il se presente des circonstances paradoxales que nous nous proposons de mettre sommnirement en evidence.
Supposons qu'un corps de revolution suspendu par un point O de son axe Oz soit soumis a des forces tclles que la somme de leurs moments pur rapport a I axe de revolution Oz siit constamment nulle. Pour se representer cet ensemble de forces d'une facon simple, on peut le re-
duire, comme nous allons le montrer, a une force F appliquee perpendiculairement a l'axe Oz en un point determine H pris sur l'axe, et a une
-> . autre force F" appliquee en O. En effet, on sait qu'on peut reduire un
systeme de forces appliquees a un corps solide a une force unique <J> appli-
quee en O, et a un couple dont l'axe OS est le moment resultant des forces par rapport au point O. Actuellement, la somme des moments des
torces par rapport a Oz etant nulle, la projection S- de OS sur Oz est
nulle. L'axe OS du couple est done perpendiculaire a O2, et, comme on peut faire tourner un couple dans son plan pourvu qu'on n'altere pas son 'Moment, on peut prendre pour bras de levier du couple une portion Oil
de l'axe. Le couple est alors forme d'une force F appliquee au point H de
l'axe perpendiculairemcnt a l'axe, et d'une force egale et oppose'e — F
appliqu6e en <>. Lcs forces <I> et — F se composent cn une force unique F
appliquee en O, et la reduction annoncee est faite.
La force F' est detruite par la resistance du point fixe U : eile n'a aucune influence sur la nature du mouvement, et die intervient seulement dans le Ctlcul d<' In prcssion sur le point O. Le mouvement a done lieu sous Taction
2l6 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
de la seule force F. On voit ainsi que le probleme general enonce se ramene toujour* .111 r.us simple ou 1'on appli [uerait, sur 1'axe de rotation, une seule
force F normale a l'axe.
Traitons maintenant ce probleme.
Prenons les axes mobiles du numero precedent, l'axe Ox etant perpendiculaire an plan ZiO z {fig. 234 ) et l'axe Oy perpendiculaire an plan
zOx.
Appelons \, Y, o les composantes de F suivant ees trois axe?, et z = //
la cote du point d'application H de cette force. Les moments de F par rapport aux axes Oxyz sont
S.x. = — h \ . Sv = // X. S- = o. La troisieme des equations (61) du numero precedent donne
dr
dt=°> r==ro et les deux autres deviennent
A ~di + ^ ^ r° ~ A ^ cot 0 ^ = " ,l Y' A ~ — ( G r0 — A q cot 8 )p = h X.
Supposons qu'a I'instant initial le corps soit mis en rotation autour dr Oz(p0 — q0 = o, r0^ o) et qu'aucune force n'agisse (X = Y = o); alors ce mouvement de rotation persiste indefiniment ; l'axe Os conserve une direction fixe dans l'espace; p et q restent mils; cela resulte des proprietes elementaires des axes principaux d'inertie en un point (n°361).
Determination de la force F qu'il faut /aire agir sur le point II ■pour f aire prendre a Vaxe Oz un niouvernent d nne. — Le corps etani dans Petat de rotation stable dont nous venons de parler, faisons agir au
point H de l'axe la force F(X, Y, o), de faeon a modifier la direction de l'axe, en faisant decrire au point H une certaine courbe suivant une certaine loi, courbe qui sera necessairement sur une sphere de centre O et de rayon OH.
Pour definir analvtiquement le mouvement qu'on veut imprimer au point H de l'axe Oz, il suffit de se donner 0 et <L en fonction de t, car ces deux angles definissent la direction de 0 z. Nous supposons que le mouvement qu'on imprime au point H se fa>se dans des conditions ordinaire?, c'est-a-dire que la vitesse et 1'acceleration de H restent inferieures a une limite determinee, ou. ce qui revient au meme, que les fonctions 6 et <l
