CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
cle t et leurs derivees des deux premiers ordres 0', 0". <V restent, en valours absolues, inferieures a une limite detcrminee X. Dans ces conditions, les quantites
p = 0\ gr = d/sin0, pq cotO = <!/0' cos 0. gr2 cotO = 6' 2 sin 0 cos 0
et les derivees ^? ~ rcsleront aussi. en valours absolues, inferieures a at at
une limite determinee X.
Si /-o ctait nul, la force necessaire pour produire ce mouvoment pren-
drait une certaine determination F0(Xo, Y0, o) donnee, a cliaque instant, par les formules (63), ou r0 = o,
/ i A da A Xo=A £+'S
( Y--.- 5 777 + A^cot0;
la grandeur de cette force serait done de l'ordre des quantites
Supposons, au contraire, r0 tres grand par rapport a la limite XL; ( rota- Is* ... . . >
tion initiale tres rapide autour de 0 z); alors la force F capable d'imprimer au point H le meme mouvement sera donnee par les formules (63), et Ton ;iura, par comparaison avec les expressions de X0, Y0.
| Y =Y„— jtqr0:
Des que p et q prendront des valours sensibles, cette force F differera
'lone de quantites ti es grandes de la force Fo qui produisait le meme mouvement de H quand r0 etait nul. On a ainsi l'explication de ce fait que quand on veut, avec la main, changer Forientation de Paxe, on eprouve une resistance inattendue d'aulant plus grande que /'0 est plus
grand. Mais on peut aller plus loin et montrer que la force F est approximativoment, a chaque instant, perpendiculaire au deplacement elemen- Xaire qu'on imprime au point H a cet instant. D'une fa con rigoureuse. le vecteur ayant pour projection X — X0, Y — Y0, o, e'est-a-dire la diff6-
rence giome'trique F — F0, est perpendiculaire au deplacement elemen-
taire <lu point, et ce vecteur differe tr<-s pen en direction do F, car Fo est
2l8 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
ties petit par rapport a F. En eflet, remarquons que la vitesse absolue v du point II de Oz a pour projections sur les axes Oxyz
(G6) ic=qh, Vy^—ph, vz=o.
En remplaeant dans les equations (65) p et q par leurs expressions en fonction de vx et c, , on a
ces formules montrent que le vecteur F — F0, de projections X — \„,
^ — Yo, o, et la vitesse v du point II de projections p.,. rv, o sont rectan-
gulaires. On voit, en outre, que la grandeur de F — F0 est egale a
celle de v multiplie'e par le facteur tres grand —j^r' On peut resumer ce
resultat par l'enonce suivant qui a l'avantage de definir la direction, le sens
et la grandeur du vecteur F — F0 quand le vecteur v est donne :
>- . . iK .
Soit u la vitesse que prendrait Vextremite v du secteur u applique
en H si ce vecteur tournait autour de Vaxe Oz avec la vitesse angulaire r$; le vecteur F — F0 est equipollent ati produii de u par le
facteur — ^ •
En efiet, l'extremite du vecteur r, applique en II, a pour coordonne'es
si ce point tournait autour de avec la vitesse ro, il prendrait une vitesse u ayant pour projections
U.c = — ^0 Vy> Uy — '*0 Vx, Uz= ().
Les formules precedentes deviennent alors
X — X0 = — ~ u.t, Y — Y0 = — ~ i(y : ce qui demontre le theorerae.
Recipr ■quemrnt, si Ton fait agir sur le point H une force F(X. Y, o). de V >rdre de grandeur de r0, et si, dans le mouvement que cette force imprime au point H, la vitesse et l'acceleration du point H restent, en valeurs absolues, tres petites par rapport a r0, la vitesse du point H est, a
chaque instant, sensiblement perpendiculaire a la direction de la force F.
