CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
En efl'et, les equations (G3), ou Ton remplace p et q par leurs valeurs (66) en fonction de vx et r, dans les termes en r0p et roq, donnent
C Y A [dp . ft\
C X X /dq \
Dans cliacune de ces equations, le deuxieme terme du second membre est tres petit; done et vy sont sensiblement proportionnels a — Y et X, ce qui demontre le theoreme : le sens de v resulte de I'e'nonce precedent.
On trouvera de nombreuses indications sur d'interessantes experiences propres a mettre ces pi oprie'tes en evidence dans l'Ouvrage intitule Theorie elementaire des Gyroscopes, par Gruey (Clermont-Ferrand, librairie Ferdinand Thibault, 1879) et dans une brochure du meme auteur Sur le St ' rephoscone universel\ ou Boite gyroscopique (*), editee par Pimprimerie Ohaix en 1 883 .
On pourra consulter egalement, pour Tetude de la resistance que l'on eprouve quand on veut changer l'orientation de 1'axe d'un corps en rotation rapide. la fin du premier Volume de la Theorie des Kreisels, de Klein et Sommerfeld.
40:2. Frottement. — Aous traiterons, comme exemple du mouvement d'un solide avec frottement, le probleme suivant :
Une plaque homogene pesante infiniment mince, ayant la forme d'un
Fig. 235.
triangle «: ■ jui lateral A1A2A3, de cote «, repose par le sommet Aj sur uu |)lan horizontal P sur Iequel elle glisse avec frottement , tandis que le cote As A3 glisse sans frottement sur un plan horizontal P' place au-dessus du premier (fig. 235). Le triangle est perce, en son centre de gravile G, d une ouverture infiniment petite dans la [uelle passe une tige verticale
(') Collin, constructeur, 118, rue Montmartre, Paris.
fixe 00' parfai foment polie : la reaction de cette tige 00' sur le triangle est 'lone une force horizontale appli piee en G. Enfin, on suppose le plan du triangle incline de 45° sur la veriicale.
A I'inslant t = o, on imprime au triangle, autour de 00', une vitesar angulaire to0 dans le sens positif des rotations. On demande d'etudier hmouxemenl du svsteme et de calculer les reactions noi males des plans P et 1*' sur le triangle :
1° Montrer que, si la vitessc angulaire initiale to0 a une eertaine valeur la reaction du plan P sur le sommel Ai est nulle.
2° Indiquer re qui arri\e suivant que oj0 est inferieur ou superieur a et suivant que le sommet A* peut ou non s'elever au-dessus du plan P.
(Agregation, 1894.)
Appellons Ni la grandeur de la reaction normale du plan 1* sur le sommet Ax et remarquons que les reactions normales du plan P' sur le cote A2A3 peuvent s^ reduire a deux forces verticales de grandeurs N2 et N3 appliquees aux sommets A2 et A3 : ces reactions seront comptees positivement vers le haul. Prenons pour axes lies au corps solide mobile un axe Gx dirige sui ant GA,, un axe Gy parallele a A2A3, et un axe G-s normal au plan du triangle et dirige vers le haut; alors Pequation de Pellipsoide d'inertie relatif au point (« est de la forme
En etTet, tout d'abord, par raison de symetrie, le plan du triangle est un plan principal d'inertie relatif au point fixe G. Ensuite chacun des plans menes par Paxe Os et une des hauteurs du triangle est un plan de s\metrie du corps solide, e'est-a-dire nn plan principal relatif au point G : il y a done trois plans principaux d'inertie pas-ant par I'axe principal Gz : cela ne peut arriver que si Pellipsoide d'inertie relatif au point G est de revolution autour de G3; ainsi les moments d'inertie A et B sont egaux ; de plus le moment G, par rapport a G^, est egal a A -+- B ou a 2 A, car le z de tou» les points du corps etant nul,
A = Smj2, B ~ Srnx-, G = ilm(^ + j-2).
On verifiera d'ailleurs facilement qu'en appelant M la masse du triangle.
on a
Le point Ai decrit une circonference de centre O dans le sens des rotations positives autour de 00'; le frottement est alors une force appliquee en At, egale a /Ni et dirigee en sens contraire de la vitesse de Ai, e'esta-dire parallelement a la direction negative de Paxe Gy.
