CHAPITRE XVII. — MOMENTS D'lNERTIE. II

obtenues en portant l'origine en O'. En les combinant avec les premieres, ces equations se r£duisent a

Sm^='o, £ rn.r — o.

equations qui exprimenl que Oz passe par le centre de gravity. Si cette condition geom^trique est verified, I'axe des z sera axe principal d'inertie pour un quelconque de ses points et en particulier pour le centre de gravite, car les conditions que nous venons de trouver sont alors verifiers, quel que soit h\ d'ou ce theoreme :

Theoreme. — Un axe principal d'inertie relatif au centre de gravite est axe principal dHnertie pour Vun quelconque de ses points. Inversement, si un axe est principal pour deux de ses points, il Vest pour tous et passe par le centre de gravite .

II est evident que, si un solide homogene admel un plan de symetrie, ce plan est principal pour chacun de ses points, car, en prenant ce plan pour plan des xy, on a, quelle que soit l'origine,

2 mxz = o. 2 myz = o, z prenant des valeurs deux a deux egales et de signes contraires.

320. Remarque. — Un ellipsoide quelconque ne peut pas loujours etre considere comme un ellipsoide d'inertie. Si Ton rapporte, en cfFet, a ses axes, un ellipsoide d'inertie, son equation devient

AX2h-BY2h-GZ2 = i,

on A, B, C sont les moment d'inertie

*l = -a*), B == 2 m (z--+- jc-), C = 2 m{x"- -+- y*-)

par rapport aux trois axes; et 1'on voit immediatement que l'un quelconque d'entre eux est au plus egal a la somme des deux autres. Par exemple, lorsque l'ellipsoide d'inertie est de revolution, il peut etre aussi allonge qu'on le veut; mais, s'il est aplali,

son aplatissement est au plus 6gal a ^ 2 1 •

Si le solide est une plaque d'epaisseur infiniment petite, situ^e dans le plan des xy, l'un de ses axes principaux est Oz par raison

do symclrie : soicnt Ox et Of les deux oulres. Alors. s 6tant nul, on a G = A -f- B.

On verra, a tilre d'exercice, que, pour que Pellipsoide d'inertie puisse en quelque point de 1'espace se reduire a une sphere, il faut que I'ellipsoide d'inertie relatif au centre de gravite soit 1111 ellipsoi'de de revolution aplati; il existe alors sur son axe de revolution deux points symetriques par rapport au centre de gravite, pour lesquels la condition est satisfaite.

324. Probleme de Binet. — Trouver Venveloppe des plans par rapport auxquels le moment d'inertie 'Tun systeme << ///>'■ valeur donnee M k1.

liapportons le systeme aux axes principaux d'inertie G./;, Gr, Gz de 1'ellipsoi'dc central, e'est-a-dire de l'ellipsoi'de d'inertie relatif au centre de gravite, et soient Ma2, Mb2, Me- les moments d'inertie par rapport aux trois plans coordonnes.

Le moment d'inertie par rapport au plan

it x -+- vy -h wz -+- I — o

a pour valeur

- mr- = 1 — ■—

En developpant cette expression et remarquant que, d'apres le choix des axes coordonnes, les six sommes Hmx, 2>my, Y*mz, ILmyz .^/»zx, Zmxy sont nulles, on devra avoir la relation

u- M a? -h v- M b2 -+- w2 Mc'-+ M

qui devient sous forme entiere

W2 ( ai x-2 ) + p2 ( &2 ) + w2 ( c°- — k2 ) -+- 1 = o,

G'est Pequation tangentielle de la surface du second ordre

tt2 k-2 ^ b2— k2 C2—k*-

Lorsqu'on fait varier le parametre k, les surfaces representees par cette equation restent homofocales. Comme elles doivent etre reelles, il faut que k2 soit superieur a la plus petite des quantites a2, b2: c2 : c2 par exemple; il en resulte que le plan pour lequel le moment d'inertie est minimum est le plan des xy.

Par un point O' (x , y' , z') de Pespace, il passe trois de ces surfaces : les valeurs du parametre k2, relatives a ces trois surfaces, sont les racines a2? P2> Y2 ^equation du troisieme degre