M RES
la pointe At de faeon qu'elle appuie sous le plan : la reaction N4 est alors
dirigee vers le bas, sa grandeur estdonneepar les equations precedentes ou
Ni est change en — Nt. La force de frottement a pour valeur absolue
-/Ni, -
et l'equation (2) des moments donne
3 A dw
d'oii
do) ~d~t
Gomme w0> \i, ^~ commence par etre negatif, oj diminue et, quand co
tend vers t augmente indefiniment. Le mouvement tend done a devenir une rotation de vitesse angulaire jj..
En ce qui concerne les reactions N3 et No, nous avons deja obtenu la somme N3-4- N2 : on calculera N3 — N2 en ecrivant l'equation d'Euler relative a l'axe Gx.
Remarque. — On peut obtenir le moment d'inertie G sans integration, en remarquant que 1'homogene'ite donne, pour le moment d'inertie d'un triangle equilateral de cote c et de masse m par rapport a son centre, une expression de la forme kmc'1, oil k est un nombre a determiner. Decomposons le triangle donne de cote a et de masse M en quatre triangles de
masse ^ et de cote - obtenus en ioignant les milieux des cotes. Trois de
Ecrivant que le moment d'inertie total par rapport a G est la. somme des moments d'inertie des quatre triangles, on a
d'oii
M)3. Resistance de milieu. — Imaginons une sphere homo gene mobile autour de son centre 0. Une ailette plane, de forme quelconque, mais de masse n<:gligeable, dont le plan passe par le centre, est invariablement
liees a la sphere; trouver le mouvement de la sphere, dans l'air, en admettant que la resistance de Fair, sur cha jue element de l'ailette, est une force normale proportionnelle a la composante de la vitesse de cet element suivant la normale a l'element.
Prenons le plan de l'ailette pour plan des yz et le diametre perpendiculaire pour axe Ox, les axes Oxyz sont entraines avec la sphere : ce sont des axes principaux d'inertie. En appelant p, q, r les composantes de la rotation instantanee, un element d'ailette da ayant pour coordonnees o, y, z & une vitesse v de projections
v;r = qz — ry, cr = —pz, vz = py.
La composante de cette vitesse normale a l'element da, e'est-a-dire au plan yOz, est v,x; la resistance de Fair sur cet element a done pour projections
\ = — kvx da, Y = o, Z = o,
k designant une constante positive.
On peut toujours supposer qu'on a pris pour axes 0^ et Oy les axes principaux d'inertie de la surface de l'ailette par rapport au point O, de sorte que, da designant un element superficiel de l'ailette, on ait
yz da = o.
Gela pose, la somme des moments L des forces de resistance X, Y, Z par rapport a Ox est nulle. Par rapport a Oy, cette somme est
M = Z(zX — xZ) = — k J (qz — ry)zda = — aq.
ou a est une constante positive
a = kj z- da.
De raerae, en prenant les moments par rapport a Oz,
N = S(^Y -yX) = kj {qz - ry)y da=- br,
ou b est positif. Les equations d'Euler sont alors, puisque A = B == C.
. dp dq . dr ,
Xdi=°> A dt=-a*> Xdt=~br;
a b0 on en tire, en posant = a, - = p,
