CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
Com me a et 3 sont positifs, q el r tendent vers zero quand t augmente, et le mouvement tend \ers une rotation autour de l'axe Ox perpendiculaire an plan de I'ailette. Le systeme tend a rchapper a la resistance.
EXERCICES
1. La force vive d'un corps mobile autour d'un point (ixe est egale au produit scalaire du moment resultant des quantites de mouvement par la rotation
instantanee : wjcosro, 7. (Resal.)
2. Demontrer que les projections pv qt1 /•,, de la rotation instantanee w sur les axes fixes Ox{, y,, zn ont pour expressions
pl = 0' cos 6-1-9' sin 6 sin <7, = 6' sin — ?' sinO cos^, /•( = -y n- o' cos6.
:\. Stabilite de la rotation autour des axes princtpaux d'inertie. — Les equations d'Euler sont satisfaites pour q = o, /• =: o. Pour savoir si la rotation correspondante est stable, on peut operer comme il suit : supposuns q et r tres petits au debut, et voyons s'ils restent tres petits.
Dans cette bypothese, le produit qr peut etre neglige, et Ton a pour la premiere equation d'Euler — ^ — o, p — p0. Les deux autres deviennent
d'ou
d2q ( A — ( : ) ( A — B ) , TP'-' BC
f: etant une constante. On en tire
(C—k)p0 rn
q = q0 cos nt -1 — — — - sin nt,
. / x dcl c — A car pour t = o, q = (7o> et, d apres (1), = — - — p0r0.
On trouve de mcme r, et Ton voit que q et /• restent tres petits. La rotation est stable. On trouverait le meme resultat autour du grand axe Oz.
Mais pour l'axe moyen, en supposant p et r tres petits au debut et negligeant pr,
on trouve q = q0, puis une equation de la forme -^jj; =-+-n-p-, en integrant,
on voit que p <-st une fonction de la forme aent -+- be~'" qui augmente indefiniment avec t : L'hypothese que Ton a faite que p et /• restent petits est done inadmissible; la rotation autour de l'axe est instable. La justification de ces approximations repose sur les tbeoremes de Poincare sur l'integration appro- • hie des equations dill'erentielles.
4. Autre niethode pour obtenir I 'equation de V kerpol /iodic. — Comme le pole m et l'extremite '» d<- la rotation instantanee sont en ligne droite avec O et
ai'Pei.l. — Traite de Mecanique. II. I")
qu'on a to — Omy//t, le lieu du point m est homothetique clu lieu du point o>.
Les coordonnees relatives du point to par rapport aux axes mobiles sont />, 7, /•. Dans l'espace absolu, le point t» decrit une courbe plane dans un plan parallels au plan II, c'est-a-dire au plan xx Oyv puisque Ozl estdirige suivant Oz. La courbe lieu du point to se projette done en vraie grandeur sur le plan x^Oy^. Or to est la rcsultante des trois rotations 8', 9', ty', dirigces comme on l'a vu (n° 382).
La projection to, de to sur le plan x, Oyl a des coordonnees absolues px et 7, que Ton calcule aisement en remarquant que /?,, par exemple, est la somme des projections de 6', 9', <]/> sur Oxr On a ainsi les valeurs de 1'exercice 2. Le point tot (/>,, 7,), ainsi determine dans le plan x,Oyiy decrit une courbe homothetique a l'herpolhodie. Si Ton appelle p, et /, ses coordonnees polaires, on a
pl-+- iqx = p, e'Xi = (ft'— i 9' sine)e, K
D'apres les formules (20) du n° 388 qui donnent 6 et 9, et la formule (21) donnant ^, on aura /?, et gl en fonction uniforme du temps.
5. Demonstration de M. Saint- Germain de la non- existence des points d'inflexion de VherpoLhodie. — Soient R, Rt les rayons de courbure des cones qui out pour base la polhodie et l'herpolhodie, en un point de la generatrice commune : la Cinemalique donne une relation de forme connue,
oil ds est l'element de Tare de la courbe lieu du point to; s'il y avait inflexion- R, serait infini et l\(j>dt = ds; or les equations du mouvement de Poinsot montrent que e'est impossible quel que soit le signe de D — R. (Comptes rendus de VAcademie des Sciences, 26 avril i885.)
6. On donne un tetraedre non pesant OARC dans lequel Tangle triedre O est trirectangle, et dont les aretes OA, OR, OG ont respectivement pour longueurs a, 6, c :
i" Determiner les axes principaux de l'elli psoide central d'inertie, c'est-a-dire de 1'ellipsoide d'inertie relatif au centre de gravite G du tetraedre, dans 1'hypothese suivante :
20 On imprime au tetraedre une rotation initiale autour d'un diametre GD de 1'ellipsoide central, et Ton propose d'etudier le mouvement de ce tetraedre autour de son centre de gravite G. On determinera sa position dans l'espace a une epoque quelconque.
Les composantes p0, qu, r0 de la rotation initiale par rapport au grand axe, a l'axe moyen et au petit axe de 1'ellipsoide central d'inertie, ont respectivement pour valeurs
Po= V75, ao=°, '•o=V/6 — V'5.
(Agregation, 1890.)
Reponse. — Le centre de gravite etant immobile au debut reste immobile. Le corps tourne done autour d'un point fixe sans qu'aucune force agisse sur lui. II
