CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE

prend un mouvernent a la Poinsot. II faut calculer numeriquement A, B, C, h et I ou [x et D. On trouve

Les donnees initiales correspondent au cas singulier ou la polhodie est une ellipse passant par l'axe moyen de 1'ellipsoTde d'inertie. ( De Saint-Germain, Nouvelles Annates, t. IX, i8jo.)

7. Toute ligne geodesique tracee sur un ellipsoide de revolution allonge se projette sur le plan de l'equateur, suivant une herpolhodie qui peut etre engendree par une ellipse a centre fixe et roulant sur ce plan. (Halphen, Comptes rendus, 5 octobre 1887, et Traite des fonctions elliptiques, t. IT, p. a49«)

8. Toute ligne de thalweg tracee sur un paraboloide de revolution, a axe vertical, et concave vers le haut, se projette horizontalement suivant V herpolhodie due au roulement dune ellipse determinee. (Floquet, Bulletin des seances de la societe des Sciences de Nancy, seance du 1" juillet 1889.)

9. L'herpolhodie est une courbe parcourue par un point dont la vitesse aero-

laire p2 ^ est une fonction lineaire de p2, la vitesse totale etant une fonction du

second degre de p2 dans laquelle le coefficient de p4 est negatif. (Darboux, Note a la Mecanique de Despeyrous. )

10. Si Ton fait rouler et pivoter, sans glisser, une quadrique quelconque de centre fixe O, sur un plan fixe n, le lieu des points de contact m sur le plan est une herpolhodie generalisee. Le rayon vecteur de l'herpolhodie issu du pied P de la perpendiculaire OP au plan n et la tangente a cette courbe en m sont deux tangentes conjuguees de la quadrique qui route. Pour que le rayon vecteur P/n ne tourne pas toujours dans le meme sens, ou pour que la courbe presente des rebroussements il faut que le rayon vecteur puisse se confondre avec la tangente. C.es deux directions conjuguees ne peuvent se confondre que si la quadrique est a courbures opposees, c'est-a-dire est un hyperboloide a une nappe.

II. Dans la seconde representation du mouvernent, d'apres Poinsot (n° 393). determiner la trace laissee par le point m' sur le plan tournant IT.

Reponse. — Le rayon vecteur Om' est egal au rayon vecteur V in — p de l'herpolhodie (yZg. 23x) Si Ton appelle y' Tangle forme par le rayon vecteur 0 m' avec une droite OU situee dans le plan II' et entrainee avec lui, on aa^OU = u,^, car II' tourne avec la vitesse u.; /' — / — jjl^, car Om' et Pm sont paralleles. Remplacons dy par la valeur d/' -4- p.dt dans les equations de l'herpolhodie; on a les equations qui definissent, en fonction de t, les coordonnees p et /' du point m ' dans le plan II',

( Darboux, ibid. )

= flVDV-;(p2~fl)(pJ-*)(pJ-C)!

L'aire decriti.- par le rayon Om' sur le plan II' est done proportionnelle au temps.

Le mouvement dcfini par lcs equations (j ) est celui d'un point materiel sollicite par une force centrale, issue de O, ayant une expression de la forme a4o -I- fip2 (Darboux, Mecanique de Despeyrous, Note 17. — PlNCZON, Comptes rendus, avril 1887.)

12. Theorkme de Gebbia ('). — Le mouvenient d'un corps solide autour d'un point fixe O, dans le cas oil il n'y a pas de forces exterieures, peut etre obtenu en faisant rouler et pivoter une quadrique de centre O ayant les memes sections circulaires que l'ellipsoide d'inertie sur une quadrique de revolution autour de 0 z. (Siacci, In memoriam Dominici Chelini, Collectanea mathematical 1881; voir aussi Greenhii.l, Fonctions elliptiques, Chap. VII.)

13. Theoreme de Mac Cullagh. — Si Ton tranforme les theoremes de Poinsot p;ir polaires reciproques, par rapport a une sphere de centre O, on voit que l'ellipsoide (appele ellipsoide de giration) ^- -f- -h ^ =1 etant entraine par le

corps passe constamment par deux points fixes situes sur le moment resultant, Oa, des quantites de mouvemcnt, symetriques par rapport a O.

14. Theoreme de Gebbia. — En transformant de meme le theoreme de Siacci (12), on voit que les surfaces homofocales de l'ellipsoide de giration glissent sur des quadriques fixes de revolution.

15. Dans le mouvement d'un corps pesant de revolution suspendu par un point de son axe, on a vu que u = cos6 varie entre les deux valeurs w, et u.y Indiquer quellcs doivent etre les conditions initiales pour que ces deux valeurs soient egales. Alors l'axe du cone decrit rigoureusement un cone de revolution autour de Ozx et la valeurs commune de u{ et de u7 est nccessairement uQ.

Reponse. — II suffit de determiner a et [3 de facon que le polynome / (u) ait une racine double u0 donnee a l'avance.