CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D?UN SOLIDE
Indication sur la solution :
i° Le lieu tie V extremite <-> tie V axe instantane de rotalion dans le corps est ane herpolhodie. Les coordonnees du point to, par rapport aux axes mobiles, sont p, <j, r. Comme r = /■„. Ic point se trouve dans un plan H perpendiculaire a I'axe et invariablement lie au corps. Dans ce plan, le point to decrit une courbe H qui se projette en vraie grandeur sur le plan des xy. Les coordonnees cartesiennes d'un point w de cette courbe rapportee aux axesOa? et Oy etant /> et (j,
= sin 0sin9-h6' cos 9, q = ^' sin 6 cos 9 — 6' sin 9,
nous appellerons p et / ses coordonnees polaires. D'abord
p2 = p: 4- q2 = a — a cos 9 = a — au. at — p2
Nous tirons de la u = — > et, en portant dans la relation
il vient
qui est bien de la forme indiquee pour l'lierpolbodie, car le polynome sous le radical commence par — p6.
D'autre part.
d/ sin 0
q -%< "tang? </sin6
lang^r fljSe ' X = arc tang — -9.
h — tang?
Comme nous avons pose cos6 = nous avons
sin 0 1 — u- r — u1 3 — a
&r„ u — 8 y = arc tang ■ 9 ;
derivant par rapport a /, remplaeant ^ parvZ/C"), 9' par sa valeur anterieu-
rement trouvee /•„ — a - > et reduisant, on trouve
1 — uL
d/ rjh — 2 ) . 2 — a £ (z — au) J; = H 5
ou encore, puisque y. — au = p3,
ft*<*X /-n(6 — o) ,, hrnx — a ' ? dt ~ 2 P 2
Les equations ( i ) et (2) ont la forme carateristique des equations d'une herpolhodie, car lc terme constant dans la dcuxierne equation -^(bra% — a£)est egal a ± - \J — ^(o;. Le theoreme est done demontre. Le cdne f C), lieu des axes
instantanes 0<n dans le corps, est un cone ayant pour base cette herpolhodie II.
20 Le lieu da point w dans V espace absolu est une courbe spherique II,. Si Ton appelle qn i\ les composantes de la rotation instantanee o> suivant les axes fixes Ox„}\, zv on obtient ces trois quantites par la methode employee pour trouver />, q, r.
La rotation w etant la resullante des trois rotations 6', 9', •!/, dirigees suivant 01, Oz, 02, {fig. Pi est egal a la somrne des projections de ces trois der-
nieres rotations sur l'axe Oxx ; q{ et r, sont egaux respectivement a la somme de leurs projections sur Oyx et Ozr On trouve ainsi
L px — 0' cos'I> -+- 9' sin8 sin<^, ( 3) \ <74 == 0''sin ^ — cp'sinb cos 4",
f r, = '/-i- 9' cos 6.
Telles sont les coordonnees du point to par rapport aux axes fixes. On en deduit, d'apres les valeurs de <V et 9', en fonction de cos8 ou u,
rt = £ -+- ( 1 — b) r0u.
Puis, comme on a l'egalite evidente
on a, d'apres l'expression de pt-i-q2 en fonction de u, Pi -+- Q\ ■+- r\ = a — au r+r rf« L'elimination de m entre les deux relations precedentes donne
( S ) r0(/>*-f- ^ + r]) + ar, = (i- &}r0 (a -+- rj )-t-a^:
Cette equation, dans laquelle on regarde />,, <7P /*, comme des •coordonnees courantes, montre que le point to est constamment situe sur une sphere S, dont le centre est sur Ozx. Le point to decrit done dans l'espace absolu une courbe spherique H, : pour determiner cette courbe, il faudrait se reporter aux equations (3) et en deduire l'equation differentielle de la projection de Hj sur un des plans coordonnes. Mais on peut alors presenter le mouvement de la facon suivante :
Le mouvement s 'obtient en faisant router I' herpolhodie H invariableinent liee au corps sur la sphere fixe S. En effet, le mouvement s'obtient en faisant rouler le cdne G lie au corps ayant pour base la polhodie H, sur un cone fixe Ct ayant pour base la courbe spherique H,. Dans ce mouvement la courbe H route sur H,, e'est-a-dire sur la sphere St qui contient H,.
Dans le cas particulier oil b == 1, on a A = B = G, 1'ellipsoYde d'inertie relatif au point O est une sphere; la sphere S se reduit alors a un plan fixe nt perpendiculaire a Oz„ et le mouvement s'obtient en faisant rouler I'herpolhodie II sur le plan fixe nr
