CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
Alors la courbe II,, lieu du point w dans l'espace, est situee dans leplan II, : en formant son equation dillerentielle en coordonnees polaires, on verifiera que c'est aussi une herpolliodie parcourue par w suivant la loi de Poinsot.
17. Demontrer que la courbe spherique H, de Texercice precedent, decrite par 1'extrcmite to de la rotation instantance dans l'espace absolu, peut 6tre engendree comme il suit :
Si trots points d'une droite invariable sont assujettis, les deux premiers a derncurer sur deux spheres differentes, le troisieme a. rester dans un plan perpendiculaire d la ligne des centres des deux spheres, si de plus la droite se de place de maniere a derneurer nor male a la trajectoire de Vun de ses points, ce qui definit completement son mouvement a partir d'une position donnee, le point de la droite assujetti d rester dans le plan decrira une herpolliodie, tous les autres decrivant des courbes spheriques qui sont les courbes If, decrites dans Vespace par Vextremite w de Vaxe instantane. (Darboux, Journal de Mathematiques, 4* serie, t. I, Fasc. IV, i885.)
18. Integrates pseudo-elliptiques de Greenhill, pour le mouvement d'un corps pesant de revolution suspendu par un point de son axe. — Supposons qu'une toupie soit primitivement mise en rotation autour de son axe, comme dans le cas traite (n° 396), puis abandonnee a elle-meme. Appelons u0 la valeur initiale de cos6; nous avons vu qu'un point fixe z pris sur l'axe de la toupie decrit une courbe spherique ayant des rebroussements sur le cercle u — uQ et tangente a un cercle situe au-dessous du premier et correspondant a la racine if, definie par l'equation
a (i — ul) — b2rl (u0 — a, ) = o.
Supposons 1'intensite de la rotation initiale r0 determinee de telle fagon que cette valeur de w, soit nulle :
Alors la courbe spherique est tangente au grand cercle horizontal de la sphere et certaines integrales deviennent pseudo-elliptiques.
En eflfet, dans ce cas, l'expression de s'ecrit
duY-
{~dt) = />2/"o"("o— u) (i — uu0),
et IV
dd> , u0 — u
— 1 == or.
dt i — U'
En comptant le temps t a partir de l'instant oil u — u0, et supposant que s'annule avec I, on a alors l'integrale
(o) y i — u2 e^'-ty1 :=vi — uuo — i\ u(u0 — u),
on s designe la constante " °Un , ci / I'unite complexe \l — r. C'est ce qu'il est
facile de verifier en prenant la dcrivee logarithmique des deux membres par rap-
du db , , , • j - ^
port a t, ct remplacant ensuite et ^ par leurs valeurs en fonction de //. On
trouve que les parties reelles et les coefficients de i dans les deux membres sont identiques. L'integrale (a), dans laquelle on egale les parties reelles et les parties imaginaires, donne les deux equations suivantes, que nous ecrivons en remettant pour u sa valeur cos6 :
sin 6 cos (.si — fy) ~ V;/ 1 — «o cos©, ( sinO sin(*i — -|) = — y (uo — cos^ ) cosO,
ces deux equations se rcduisant a wne, comme on le voit, en faisant la sommr des carres.
Verifier de meme que, pour des conditions initiates convenables, on a une integrate de la forme
sin2 0 e-^i""1')'1 = (« — D) \/( u'—u)(u2 — u) -+- i ( E a1 — F u ) \j u — ul ,
«, D, E, F etant des constantes reelles convenablement choisies.
On peut meme faire disparaitre le terme serulaire nt par une particularisation encore plus grande des constantes du probleme. Alors la courbe spherique. lieu du point z, est fermee. Dans le cas particulier du pendule spherique. il est impossible de faire disparaitre le terme nt.
Pour un autre choix de constantes du probleme, on a de meme une integrate de la forme
sin3 8 e^-«0<' — (if — Du-h D') y (a — u)(u — w, ) -h i( E if- — Fa -t- F') V "2 — 11 •
D. D', E, F, F' etant des constantes reelles. On peut encore ici faire diparaitre le terme seculaire nt.
En general, u. designant un entier. on peut trouver des cas particuliers ou sin'H 0 e'^-nt'>i est donne par une formule rentrant dans le premier ou le second type suivant que jjl est pair ou impair, dans laquelle figurent devant les radicaux des polynomes de degre ;j. — i. (Greenhill, Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. XXV; et Fonctions el/iptiques, traduction de Griess.)
19. Un corps solide mobile autour d'un point fixe est sollicite par un couple dont l'axe est toujours parallele au moment cinetique resultant et dont le moment est toujours egal a ce moment resultant multiplie par une constante X. Mouvement du corps.
Reponse. — Les equations du mouvement sont
A ^ -F ( C — B ) qr -h XA q = o, En possant p = e~''p\ \ t'=.i — e~". ces equations se rcduisent a
de sorte que //, q', r' , sont les memes fonctions de V que />, q, r le sont de t
