CHAPITRE XX. — MOUVEMENT D'UN SOLIDE
quand il n'y a pas deforces exterieures ( Voyez Greenhill Fonctions ellipliques traduction de Griess, p. 1 55, et Padova, Atti delV Accademia di Torino, t. XVI, i885-i886.)
20. Mouvernent d'une sphere homogene mobile autour de son centre dans un milieu resistant. Cette sphere est munie a sa surface d'ailletes planes de nombre et de formes quelconques, dont les plans passent par le centre. Trouver le mouvernent en negligaent les masses des ailettes et supposant que la loi de la resistance est La meme que dans l'exercice du n° 403.
Reponse. — Les equations d'Euler sont alors des equations lineaires simultanees a coefficients constants.
21. Un corps non pesant pewt se mouvoir autour d'un point fixe et n'est soumis a aucune force; en outre, ce corps est immobile. A l'instant t, on fait agir
^ur lui uiie force F donnee en grandeur et position. Quelles sont, a l'instant / ■+■ dt, la position de l'axe instantanc de rotation et la vitesse angulaire de rotation ?
Meme question si Ton fait agir plusieurs forces, (Steichen, Crelle, t. 43, p. 161.)
22. Une tige pesante d'epaisseur infiniment petite est mobile autour d'un de ses points qui est fixe. Trouver son mouvernent.
(II existe sur la tige un point qui se meut comme un pendule conique). [Tissot, These (Journal de Liouville t. XVII. j852)].
23. Lorsqu'un corps tourne autour d'un point fixe sous i'action de forces dont le moment par rapport a l'axe instantane est constamment nul, la vitesse de rotation est proportionnelle au rayon vecteur de 1'ellipsoTde d'inertie dirige dans le sens de cet axe. La reciproque est vraie.
La proposition directe s'applique en particulier au mouvernent d'un corps tour nant autour d'un point fixe et assujetti a rester en contact avec une surface fixe sans ctre sournis a d'autres forces que les reactions normales de la surface. (Flye Sainte-Marie, Journal de Liouville, t. Ill, 1877.)
24. Mouvernent d'un solide homogene, pesant de revolution, fixe par un point • le son axe et assujetti a s'appuyer sur un cercle fixe dont l'axe passe par le point de suspension
i° En negligeant les resistances passives;
20 En tenant compte du frottement de glissement de la surface du corps sur le cercle fixe et supposant la composante normale de la reaction du cercle dirigee perpendiculairement a la droite qui joint le point fixe au point d'appui. (Astor, Vouvelles Annates de Mathematiques, 1894, t. 442-)
25. Dans un plan fixe se trouve une circonference niaterielle homogene de masse m dont les elements attirent, suivant la loi de Newton, les elements (run solide dont le centre de gravite est assujetti a rester fixe au centre du cercle . Trouver le mouvernent du corps en supposant que ses dimensions soient tres pe tiles pur rapport au rayon du circle.
On trouvera la solution du pmblcme a l'aide de fonctions 0 a deux argument?,
avec de nombreuses indications bibliographiques, dans la dissertation inaugurate de M. Oscar Perron, presentee a 1'Universite de Munich en 1902 (Wolf und Solin ).
Ce probleme est dans un rapport etroit avec le probleme du mouvement de la Terre autour de son centre de gravite : dans ce dernier probleme on suppose ordinairernent que l'ellipsoTde central d'inertie est de revolution.
26. Interpretation de la periode imaginaire dans un mouvement a la Poinsot. — On peut, par un choix convenable des conditions initiates, associer les mouvements deux a deux, de telle facon que la periode reelle de l'un soit egale a la periode imaginaire de 1'autre divisee par i. (Appell, Bulletin de la Societe mathematique de France, t. XXVI, 1898 p. 98.)
27. Integrer les equations du mouvement d'un solide, autour d'un point fixe, dans le cas oil ces equations sont de la forme
A ^ -h ( C — B ) qr -4- cq — br = o,
B ^ -4- ( A — G ) rp -4- or — cp = o, dr
C~dt ^ ( B ~~ A ^ Pq ^~ bp ~ aq = °' a, b, c etant des constantes. On trouve les deux integrates premieres
kp'-h B<72-+- C/,2= 2/1, ( A p -t- a y -4- ( B q b )2 -+- ( C /• -4- c )2 = k\
et Ton ramene l'integration aux quadratures. ( Vrro Volterra, Atti delta R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XXX, mars 1895.)
28. Dans le mouvement d'un corps pesant de revolution suspendu par un point de son axe, la trajectoire du point pris sur l'axe ne depend, en dehors de w, et a2
que de la valeur • Si Ton pose br0t = x, au mouvement etudie correspond
un mouvement type, pour lequel br0=i. (Drach, Comptes rendus, t. 170, p. 1 1 56, 17 mai 1921. )
