I. GflNERALITES

404. Equations du mouvement . — Pour connaitre le mouvement d un corps solide libre, il suffit de connaitre le mouvement d'un point du corps, par exemple du centre de gravite, puis le mouvement du corps autour de ce point.

Imaginons trois axes reclangulaires fixes OE, Oyj, OC, {fig- 236),

Fig. 236.

et appelons £, yj, les coordonnees du centre de gravite G par rapport a ces axes. Les equations du mouvement du centre de gravity donnent, en appelant M la masse du solide,

Oil les seconds membrcs sont les sommes des projections des forces appliqu^es an corps sur les trois axes Ot, yj, £.

Mcnons ensuite par le centre de gravite G trois axes de directions (ixes G#,, rl7 Z\A par exemple trois axes parallcles aux axes fixes 0£, yj, £.

Lc mouvement du corps par rap|)ort aux axes G.r1? y< , Zi est le mouvement d'un solide autour d'un point fixe : si l'on considere trois axes Gx, y, z invariable ment li6s au corps, la position du corps autour de G sera definie par les trois angles d'Euler, 9, qp, y des axes Gx, y, z, avec Gxtl y\, Zi. Nous avons obtenu les equations du mouvement d'un solide autour d'un point fixe en appliquant le th^oreme des moments des quanlites de mouvement. Or ce th^oreme s'applique au mouvement relatif autour du centre de gravity (n° 350) : nous pourrons done appliquer a ce mouvement toutes les equations etablies precedemment pour un solide mobile autour d'un point fixe.

Appliquons, en particulier, les equations d'Euler. Prenons pour axes Gx, y, z, li£s au corps, les axes principaux d'inertie relatifs a G, et appelons A, B, C, les trois moments principaux d'inertie. A chaque instant, les vitesses des points, par rapport aux axes

Gxu yK, Zi, sont les memes que si le corps etait anime d'une

rotation instantanee w de composantes p, q, r suivant les axes Gx, y, z. Le moment resultant, par rapport a G, des quantites de

mouvement relatives est un vectcur G<Ji ajant pour projections Ap, Bq, Gr sur les axes Gx, y, z. On a alors en appelant L, M, N les sommes des moments des forces appliqu^es au solide par rapport a ces memes axes, les trois equations d'Euler

On a ainsi six Equations (i) et (2) determinant les six parametres >, Y;, £, 0, cp, d> en fonction de t. En ggneVal, les seconds membres de ces Equations d^pendront des six parametres, etmeme de leurs dcrivees premieres, si les forces dependent des vitesses; de sorte qu'il faudra considerer simultancment les six equations.

Dans le cas 011 le corps solide n'est pas entierement libre, les six parametres sont assujettis a cerlaines relations; mais alors des reactions inconnues s'introduisent.