CHAPITRE XVII. — MOMENTS D'lNERTIE

Les trois surfaces homofocales qui passent par O' se coupent a angle droit; on a alors le theoreme suivant :

Les plans principaux d'inertie relatifs au point 0' sont les plans tangents aux trois surfaces homofocales (i) qui passent par ce point; et les moments d inertia par rapport a ces trois plans principaux sont Ma-, M(32, My2; a2, [3-, y2 designant Irs racines de Vequatiin (2).

La demonstration resulte du rapprochement des deux faits suivants :

i° L'enveloppe des plans passant par 0' par rapport auxquels le moment d'inertie du systeme a une valeur donnee Mk- est le cone de sommet O' circonscrit a la surface (1). Cette enveloppe est un veritable cone tant que la surface (1) ne passe pas par O', c'est-a-dire tant que k2 n'a pas une des valeurs a'2, (32, y2. Mais, si k- a l'une de ces trois valeurs, la surface (1) passe par O' et le cone circonscrit de sommet 0' devient un plan double confondu avec le plan tangent a cette surface en 0';

2° Cherchons directement l'enveloppe dc ces memes plans en prenant 0' pour origine, et pour axes, O' X\y\Z\, les trois axes principaux d'inertie relatifs a 0'. Soient x±, jri9 Z\ les coordonnees d'un point du systeme,

les moments d'inertie par rapport aux trois plans principaux relatifs a 0'. Le moment d'inertie du systeme par rapport au plan iiXi-\- vy\-\- wz± — o passant par 0' est

M*2= ^m(jifl±lIl±J^ll = M(afa2+p2P2+T2^2) U- -h V2 -h W2 U2 -+- v- -+- w2

Si k2 doit rester constant, on a

le plan enveloppe alors un cone dont l'equation est

gj y\ A

C'est la un veritable cone tant que k- n'a pas une des valeurs af, (3?, yf , pour k-= a2 par exemple, le cone se reduit au plan double x\ = o, c'esta-dire a l'un des plans principaux relatifs au point O' : de m£me pour k2 = Pi, k-= y2, on a les deux autres plans principaux relatifs a O'.

Comme, dans la premiere facon de raisonner, nous avons trouve que le meme cone se reduit a des plans doubles seulement quand k2 est egal a a-, fi2 ou f, il faut que af, [3f, y? soient egaux a a2, (32, y2 ; comme nous avons trouve, de meme, que ces plans doubles coincident avec les plans tangents aux trois surfaces homofocales passant par O', il faut que ces plans tangents coincident avec les plans principaux d'inertie relatifs au point 0', X\ = o, V\ = o, Z\ = o.

Le theoreme est done demontre.

l4 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

322. Lieu des points 0' tels que le moment d'inertie par rapport a l'un des axes principaux relatifs a 0' ait une valeur donnee M />-. — Supposons que le moment d'inertie par rapport a I'axe principal OfZi ait pour valeur M/>2: on aura

M ry- = M ]>-.

Or a2, (S2, y2 sont ^es racines de l'equation (?.); ecrivant cette equation sous forme entiere, on a pour la somme des racines

d'ou en faisant

.z'2 -4- /2 -h ^'2 = r'2, a2 -f- 02 = JE>«, Y2= /-'2-4- a2-f- 62-f- c2 — p"-.

En exprimant que Y2 est racine de l'equation (2), on a l'equation dulieu

c'est une surface du quatrieme degre, coupee suivant des coniques, par les plans coordonnes, identique a la surface des ondes de Fresnel.

( Yoyez Glebsch, Journal de Crelle, t. 57; 0. Hesse, Vorlesungen iiber analytische Geometrie des Raumes ; Darboux, Note a la Meca nique de Despeyroiis.)

323. Determination experimental des moments d'inertie. — Nous verrons plus loin comment la theorie du pendule compose permet de determiner experimentalement un moment d'inertie. Bornons-nous a indiquer que MM. Brassine (Comptes rendus, t. XCV, p. 446 ), Marcel Deprez (ibid., t. LXXI1I, p. 785), Joukov\ski (Bulletin de V Association francaise pour Vavancement des Sciences, 1889, p. 23) ont indique divers appareils pour cette determination. Les integrateurs mecaniques permettent egalement d'evaluer les moments d'inertie, comme on le verra dans le Traite de Statique graphique de M. Maurice Levy.

M. Haffner a imagine un appareil permettant de reconnaitre si un axe donne est principal pour le centre de gravite [voir Machine a determiner les balourds, par P. Appell (Journal d<- VEcole Poly technique , 2e semestre,'9e Cahier, 1904)].

EXERCICES

1. Galculer les moments d'inertie d'un parallelepipede rectangle homogene, de dimensions a, b, c, par rapport aux paralleles aux aretes menees par le centre.

Reponse. — On trouve

b2-hc- ,,c2-+-«2 m. a--\-b2 > M > M