CHAPITRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE
i° La />/• ejection horizontals de G est fixe . — Nous supposerons d'abord, pour simplifier, que la vitesse iuitiale imprimee au centre de gravite est nulle ou verticale. Sa projection liorizontale est alors nulle au debut, et, comme cette projection reste constante, elle est loujours nulle. Dans ce cas, le point Q est fixe et le centre de gravite ne fait qu'osciller sur la verticale de ce point.
Appliquons le thcoreme des forces \i\es au mouvemenl absolu. La force
vive lotale est egale a la force vive M ^"^^ c^e 'a masse totale concentree
en G, plus la force vive AT( p- -+- ) H- G r- dans le mouvement relatif aulour de G. D'autre part, le travail de la reaction normale du plan est nul, le travail elementaire du poids est — M g d'C,. On a done Tintegrale des forces vi\ es
( 3 ) M^ Vh-A (p* -h>) + C^ = - 2 M g I + h .
Kemarquons ensuite que les forces appliquees au corps, reaction du plan et poids, ont leurs moments nuls par rapport a Gz±\ comme le theoreme des moments s'applique au mouvement relatif autour du centre de gravite, on voit que, dans ce mouvement relatif, la somme des moments des quantites de mouvement par rapport a Gz-\ est constante. La projec-
lion sur Gzi du moment resultant Gai des quantites de mouvement relat i \ es est done constante. Or les projections de Gai sur les axes Gx, y, z etant A.p, Aq, Gr, on a
( i ) A p sin 0 sin cp -h A q sin 0 cos cp -+- Gr cos 8 = K.
Enfin, les deux forces appliquees au corps, reaction et poids rencontrent Taxe de revolution Gz ; done N = o, et la troisieme equation d'Euler est, puisque A = B,
/ - ~, dr
(5) Grf7=°' r = r<"
Dans les equations (3) et (4) remplaconsr par r0, p et q par leurs valeurs
aX
en fonction des derivres 0', 9', d/ (n° 382), £ par /(6) et ^ par /'(O^.'. Ges equations prennent la forme
( ( [iH-c/'H0)]0---4-'y^irrUj = a-«/(0),
( -V sin^O = ?j — 6/-0cos 0,
ou x et [I, sont des constantes arbitraires, landis que a, b, c, sont des constants positives determiners
AiTBi.r.. — I rait r <lc Mrcaiiiquc. II.
Ges deux equations (6) donnent 0 et <b en fonction du temps ; o est ensuite determine par la relation
(7) • r0 = 9' -+- <I/COS0.
L'elimination de -1/ entre les deux equations (6) donne
(8) (|[Yfl + sin20 = [«-«/(«)] sin*0 — (,3-6r0cose)*,
d'ou £ en fonction de 0 par une quadrature. Si /(0) est une fonction rationnelle dc sinO et cosO, ccttc quadrature sera hy perelliptique en
prenant comme variable tang - • L'angle 0, partant de 0o, ne pourra prendre que des valeurs rendant positive la fonction du second membre 4>(0) = [a — a/(8)] sin50 — ([3 — 6rocos0)5.
Remarquons que /(9) designant la distance du centre de gravite au plan fixe est toujours fini, et substituons a la place de 0 les valeurs o, 0O, n : nous aurons pour $(0) les signes — , -h, — , car la valeur initiale 0o donne evidemment pour 0' une valeur reelle. La valeur 0O est done comprise entre deux racines reelles 0j et 02 de 0(8), et 0 ne pourra qu'osciller entre ces racines. La discussion est done analogue a celle que nous avons faite en detail, dans le Ghapitre precedent, pour le mouvement d'un corps pesant de revolution, mobile autour d'un point de son axe. L'elimination de dt permettra d'exprimer egalement et 9 en fonction de 0 par des quadratures.
Courbe decrite sur le plan par le point de contact. — Le point Q etant suppose fixe, nous le prendrons comme origine d'un systeme de coordonnees polaires dont l'axe polaire QX sera parallele a G#i. Le rayon vecteur QP = p est une fonction connue de 0,
determined par la forme de la surface de revolution par laquelle le corps louche le plan. L'angle polaire = XQP est egal a -4- ^ • En effet, le
plan GQP coincide avec le plan projetant horizontalement l'axe de revolution, e'est-a-dire avec le plan zxGz; or la normale GI a ce plan fait avec Gxi l'angle 6; la normale QH au rayon vecteur QP, dans le plan horizontal, fait done avec QX un angle egal d», et l'angle XQP == / est bien egal a <|> ■+- — • On a done
a\ cfy ■ ft — 6r0'cosO dt dt sin'-O
