CHAPITRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE

L'e'limination de dt entre cette equation et Pequalion (8) donne ^ en fonction de 0 par une quadrature, et, comme 0 est lie a p par une equation connue p =zt/'(8), on aura en fonction de p par une quadrature.

2° Cos general. — Nous avons suppose le point Q immobile. En general, oc point est anime d'un mouvement rectiligne et uniforme. On etudiera alors le mouvement du corps par rapport a des axes Q, X, Y, Z\t de directions fixes, ayant pour origine le point Q. Comme ces axes sont animes (Tun mouvement de translation rectiligne et uniforme, le mouvement relatif du corps est donne par les memes equations que le mouvement absolu (n° 33-4); comme, dans ce mouvement re atif, la projection horizontale Q, du centre de gravite, se fait constamment a l'origine, on est ramene au cas que nous venons de traiter.

Exemples. — « i° Toupie. — La toupie est un corps pesant de revolution reposant par une pointe P sur un plan horizontal fixe. On peut regarder cette pointe comme une sphere de rayon infiniment petit ayant

Fig. 23g.

son centre en P(fig. 23g, a). Le corps pesant touche alors le plan horizontal par cette sphere. La distance t = GQ est ici donnee par la formule

'C — I cos 0 ,

<>n / designe la longueur GP; puis p = QP = / sin 6. 11 faudra done, dans les equations precedentes, faire /(0) = /cosO, p = /sinO. Le deuxieme inembre de l'equation (8)devientun polynome du troisieme degre encosG, identique a celui qui se rencontre dans le probleme de Lagrange et de Poisson.

2° I'iccr de monnaie. — Une piece de monnaie de rayon /, glissant sans frottement sur un plan horizontal fixe, est un solide de revolution en contact avecle plan par une surface reduite a une circonference {fig. 239, ^)« L'axe de la surface est la normale Gz au plan de la piece, la meridienne un point de la circonference. On a actuellement

CO = ^ = / sin0, PQ = o = /cosO.

3" Le corps touche le plan par un tore cVaxe &z. Vlors t = a cos 0 -+- b sin 0 -h c.

4° Be mar que de Puiseux {Journal de Liouville, t. XIII). — On peut quelle que soit la forme de la surface de revolution, prendre r0 assez grand pour que 0 reste aussi \oisin qu'on le veut de sa \aleur initiale 0O. En effet, d'apres I'equation (8), il faut que, pendant toute la duree du mouvement, la fonction

$(8) = [a — ftf(Q)] sin28 — (p — 6r0cosQ)2

soit positive.

Placons-nous dans les conditions initiales suivantes : animons le corps d'une rotation r0 tres grande autour de son axe de figure Gz, puis posons ce corps sur le plan sans donner de vitesse au centre de gravite. Alors p, q,

T/ ' dt1 ~dt' S°nt nU 1 instant initial : on en conclut, d'apres les expressions de p et q en fonction de 6' et 0', que d/ et 0' sont nuls aussi a l'instant initial, c'est-a-dire pour 0 = 0o. D'apres les formules (6), on a done

a = af{ 80 ), p = 6rocos0o,

et la fonction (I>(6) devient

<I> ( 0 ) = a[f( 0o ) — /( 0 )] si a* 8 — b*- r\ ( cos 0o — cos 6 )-,

ou la racine 0O est en evidence. Supposons que 6 aille d'abord en croissant; il ne pourra pas aller jusqu'a ~ car 0 = - rendrait <\> (8) negatif: done 6 oscillera entre la valeur 0o et une valeur 6t qui est la premiere racine de <£(0) rencontree entre 0o et jc. Nous voulons montrer que 1'on peut prendre r0 assez grand pour que 8i soit aussi pres qu'on le veut de 0O. Ecrivant que 6, annule <IJ (0), on a

( cos 60 - cos 0, f = [/( 0o ) -/( 0, ) J.

Soit D le maximum de la distance du centre de gravite du corps au plan qu'il touche, dans toutcs les positions possibles, /(0O) — /(0i)est moindre que 2D, sin20, est moindre que 1, et 1'on a

iaD

( cos 0O — COS 0! )- < -j r •

On peut done prendre /-0 assez grand pour que 0t et, par suite, 0 different de 0O d 'aussi peu qu'on le veut.

5" Theorie du pied equilibriste ou gyroscope Gervat. — Les calculs precedents s'appliquent au mouvement d'un solide de revolution assujetti