CHAPITRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE
a des liaisons quelconques, sans frottem'ent, qui s'expriment analytiquement par une equation de la forme £ = /(G), oil £ est la hauteur du centre de gravite au-dessus d'un plan lixe et 0 Tangle de I'axe de revolution avec la verticale; c'est ce qui arrive, par exemple, dans l'appareil suivant qui, au premier abord, parait assujetti a des liaisons d'une tout autre nature que cello que nous venons d'etudier.
Le pied equilibriste ABODE (fig. 240) est forme d'un 111 metallique de imm,5 de diametre environ. II se compose a peu pres d'un demi-cercle vertical ABC muni, au bas, d'un appendice BDE qui a pour but dele faire reposer, sur le plan horizontal, par la partie DE qui est rectiligne et perpendiculaire au plan du cercle ABC. En A et G, le fil est doublement recourbe de facon a former deux coussinets qui recoivent les extremiles
Fig. 240.
dc l'axe de la toupie gyroscopique. Dans cette position, le plan moyen du tore dc la toupie passe par DE : le centre de gavite de la toupie est sur son axe dans le plan mene par DE perpendiculairement a l'axe AG.
Si la toupie ne tourne pas, l'equilibre est instable, le tout bascule autour de DE. Mais si la toupie tourne sur elle-meme avec une grande vitesse environ cinquante tours par seconde), le systeme semble etre en equilibre stable quand le plan DBE est vertical. De la le nom de pied equilibriste donne par l'inventeur a ce jouet. En realite, le pied execute autour de la position apparente d'equilibre des oscillations manifestoes par un son.
La masse de la toupie etant tres grande par rapport a celle de la monture et du pied, negligeons completement ces dernieres : la monture et le pied, ayant alors une masse nulle, ne servent qu'a etablir entre la toupie et le plan une liaison geometrique qui s'exprime comme il suit. Appelons E la distance du centre de gravite G de la toupie au plan horizontal, / la longueur de la perpendiculaire abaissee de ce point G sur DE; quand l'appareil s'incline autour de DE, l'axe de la toupie fait avec la verticale ascendante un angle 0 et Ton a Z = I sin 0. Cette relation etant identique a celle qui se presente dans le cas (Tune piece de monnaie mobile sur un plan horizontal, les equations du mouvement dans le cas acluel se deduisent des equations generales precedentes, en supposant /( G) = I sin 8.
La remarque de Puiseux s'applique : en supposant /0 suflis;imrnenl grand, 0 reste aussi voisin qu'on le veut de 0o.
Dans le cas particulier oil l'axe AG est primiti vement horizontal et part
du repos, 0 commence par etre egal a > 0' et ■!/ commencent par etre
nuh. Les equations generates montrent alors que 6 reste egal a ^, que
[j = o, et que <J/ = o = constante.
(Pour les details de la discussion voir un article de M. Carvallo, Bulletin <le la Societe fnathematique, XXI, 1893.)
408. Remarque de Thomson. — Nous venons de voir que si le corps est anime d'une rotation rapide autour de son axe, puis pose sur le plan sans vitesse imprimee au centre de gravite, le mouvement est stable, en ce sens que 1'angle de l'axe de rotation avec la verticale est sensiblement constant. II est tres remarquable que, si l'on impose de nouvelles liaisons au corps, ces liaisons, au lieu de renforcer la stabilite, peuvent la faire di spa rait re.
Prenons, par exemple, une toupie dont la surface laterale est en partie un cylindre de revolution, et placons-la entre deux plans verticaux fixes, II et II', parfaitement polis, paralleles au plan £ O £, de telle facon que Paxe G.z de la toupie soit assujetti a rester dans un plan fixe parallele au plan
£ O £. Dans ces conditions, Tangle tl est constant et egal a ; -V = o. Pa
mise en equation est la meme que precedemment, a condition de tenir
compte de cette condition 6 = — j de faire /(0 ) = / cosO, puisqu'il s'agit
d'une toupie, et d'ajouter aux forces exterieures les reactions normales des deux plans H et FT, reactions qui sont horizontals et rencontrent l'axe G du corps.
La vitesse initiale du centre de gravite G etant nulle, la projection horizontale Q de ce point est fixe.
Le theoreme des forces vives applique au mouvement absolu donne [ premiere equation (6) ou <!/ == o,/(6) = /cosG ]
6/^1 4- cls sin'20) = a — al cosO.
Si l'on suppose la toupie animee au debut d'une rotation r0 autour de son axe de figure suppose immobile, 0' doit etre nul pour 0 = 0O. On a done a = al cos 0O :
0 "- ( 1 -h c/2 sin20) =s «/( cos 0O — cos 6).
Comme le second membre doit etre positif, 0 partant de 0o ne peut que croitre, et la toupie se renverse. On a, en outre, 9' = r{).
