CHAP1TRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE

Nous allons en deduire que la vitesse (u, v) du point qui est en A a une direction fixe. Nous avons, en eflet, en difl'erentiant les dernieres equations,

du d*% dcj f/v d- Tj dq dt~ dt lit ~ d& dt ''

, d^\ d'lt\ dp dq

dans ces equations, remplacons -j— > — — ' ~r* ~r- par leurs valeurs

deduites de (i) et (2); nous aurons

n du H2 x ± = 1 R2 y

oft M + MK2 * dt M MK- '

d'ou nous tirons, par division,

du X 77p = Y

et, par consequent, ou, en integrant,

— = const.

La force de frottement est ainsi constante en grandeur et direction. Le mouvement du point G se faisant sous Taction de cette seule force, la frajectoire de ce point est une parabole.

Les composantes X, Y de la force de frottement etant constantes, les projections u, v de la vitesse du point qui est en A sont, d'apres les equations (3), des fonctions lineaires du temps. Ces quantites u, v decroissent en valeurs absolues. Si nous supposons, par exemple, u positif, X est ne-

gatif d'apres les lois du frottement; il en est de meme de ^> et la com-

posante udecroit : elle arrivera necessairement a zero au bout d'un temps fini T, puisqu'elle depend lineairemcnt du temps; si u etait negatif, X serait positif et ce serait en croissant que u s'approcberait de zero.

Puisque le rapport — est constant, les deux composantes de la vitesse

s'annulent au meme instant. A partir de ce moment T il n'y a pins de glissement, et le roulement accompagne de pivotement, qui se produit alors, est stable; car si en defangeant la bille on produisait un petit glissement, d'apres ce qui precede, le glissement di spa rai trait dans un temps tres court.

A partir de l'instant T le mouvement est done un roulement avec pivo-

tement. La reaction tangantielle du plan est alors une force F, de direction inconnue, de grandeur inferieure a /'\. Nous allons voir que, si Ton neglige

le frottement de roulement et pivotement, le mouvernent du centre de gravity devienl, a partir fie I'instant T, rectiligne et uniforme

et F devicnt nul. En effet, si nous continuons a appeler X et Y les projec-

tions de F dans cette deuxieme phase, les equations ( i ) et (2) subsistent sous la meme forme. Si entre ces equations nous eliminons X et Y, nous aurons

d*\ K2 dq d0-rt K- dq

W dt* ~*~ ~R dt ~°' dt* R dt °'

Comme, dans cette nouvelle phase, il y a roulement et pivotement, les quantites u et v sont nulles, et Ton a

d\ „ dr{

Tirant de la j> et q pour les porter dans (4), on trouve

Le mouvernent de G est done rectiligne et uniforme, et les equations (1)

montrent que X et Y et, par suite, F sont nuls.

Suivant une remarque de Coriolis, les equations (4) etant obtenues par Pelimination de X et Y ont lieu quelle que soit la reaction tangentielle du plan : elles s1appliquent done pendant toute la duree du mouvernent, aussi bien a la premiere qu'a la deuxieme phase. Or ces equations s'integrent immediatement et donnent

z r \ d\ K2 dt\ K2

(5) di+R*-"' dt-K* = b-

Pour interpreter ces formules, prenons un point H situe au-dessus du

centre a une distance GH = — - = - R ; ses coordonnees relatives a Gj:. 1 . s

seront o, o, — 5 il en resulte que les premiers membres des equations

prededentes sont les projections, sur O; et Or,, de la vitesse absolue du point de la bille qui a I'instant considere est en H; on voit que la vitesse de ce point est constante en grandeur et en direction : elle peut etre consideree comme donnee par Tetat initial du mouvernent et est independante

de toute hypothese sur la loi de la force tangentielle F. En particulier dans le mouvernent final (deuxieme phase), u et v sont nnls et Ton a

en portant ces valeurs de p et q dans les equations (5), il vient

/ K? \dl , / K2 \ dr\

" ~ \ R 2 / dt ' b = [l