CHAPITRE XXI. - CORPS SOLIDE LIBRE
|j les composantes de la vitesse linale du centre de gra-
dfc 5 dt\ 5 ,
ces composantes sont ainsi connues en fonction des conditions initiales qui d'apres (5), servent a calculer a et b.
Par exemple, il peut arriver que, dans les equations (">), les valeurs
initiales de ~ ; ^~ soient positives, mais que les valeurs initiales de p et q,
soient choisies de telle facon que a et b soient negatifs. Alois, au debut, le centre de gravite, suppose situe dans Tangle posilif %Or\, s'eloigne du
point O; mais dans la phase linale 5 ^ sont negatifs, et la bille revient
en roulant et pivot ant de'*facon a se rapprocher de O.
Frottcment de roulement. — L'effet du frottement de roulement sur la bille a etc etudie par P. Appell {Journal de P. Jordan, t. VII, 191 1).
ill. Cerceau. — Imaginons un sblide pesant qui remplisse les conditions Miivantes : i() Le solide est termine par une arete vive ayant la forme d'un cercle K de rayon a; 2" le centre de gravite G du corps est situe au centre du cercle K; 3° lellipsoi'de d'inertie relatif au centre dc gravite G est de revolution autour de la perpendiculaire Gz au plan du cercle.
Supposons ensuite que le corps solide ainsi constitue soit assujetti a rouler sans glisser sur un plan horizontale fixe II.
L'intcgration des equations de ce probleme de Mecanique peut etre ramenee a des quadratures si l'on introduit, comme element analytique, la fonction hvpergeometrique de Gauss; ce fait a lieu en particulier pour le mouvement du cerceau (*).
Soit II le point de contact du cercle K avee le plan fixe (Jig. 244). Pour etudier le mouvement du corps autour de son centre de gravite G, prenons d'abord trois axes GtX\y\Z\ de directions fixes, G^i etantla verticale ascendante: puis trois axes mobiles Gxyz qui sont : i° un axe G; normal hi plan du cercle K; 2" un axe Gx perpendiculaire au plan -sG^; 3" un axe ( '. i |>erpendiculaire aux deux premiers.
L'axe « ■ / e^t une horizontale du plan du cercle K; Paxe G y est une ligne de plus grande pente ascendante du plan du cercle; le point H se trouve sur la partie negative de Gy.
Ces axes mobiles sont identiques a ceux que nous avons employes dans l«- n° 400 pour Pelude du mouvement d'un solide de revolution suspendu
et, comnie — vite sont
(') \oyez Kortewbg et Appell, Rendiconti del Circolo Vlatematico di Pa-
lri-mn, ;ioiit 1N99, t. XIV, p. 1 et 7.
par un point de son axe. Nous designcrons, comme dans ce uumero, par 0 et «|; les angle ZiGz et x^Gx, et par P, Q, R les composantes suivant
Gx, Gy, Gz de la rotation instantanee il dn triedre GxyZ :
t> P = 0', Q = -V sin 9, R = -V eosO.
Une fois connue la position du triedre Gxyz, pour connailre la position du corps il suffit de connaitre, en outre, Tangle © que fait un rayon CM
du cercle K invariablement lie au cercle avec G x. La rotation instantanee o)
du corps solide est alors la resultante de la rotation il du triedre Gxyz
Fig. 244.
et d'une rotation ©' autour de G; : les composantes p, q, r de cette rotation sont done (nu 400)
to p == P == 6', g = Q = 4/ sin 0, r = R -+- f.
Appelons u, v, w les projections de la vitesse absolue du centre de gravite sur les axes mobiles Gxyz. Comme ces axes sont animes d'une rota-
tion instantanee Q, les projections de l'acceleration absolue J du point G sur ces memes axes sont, d'apres des formules connues (t. I, n° 61 ).
du
Forces. — Prenons, pour simplilier, la masse du corps pour unite; les forces appliquees au solide sont :
i° Le poids applique en G, ayant pour projections sur Gx, Gy, Gz,
o, — £-sinO, — g C09 0 ;
2° La reaction du plan appliquee en H, et ayant pour projections
CHAPITRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE. 255 Les equations du mouvement peuvent alors s'ecrire comme il suit : Equations du mouvement du centre de gravite. — La projection de
['acceleration J du point G sur chacun des trois axes Gxyz est egale a la somrae des projections des forces exterieures sur le raeme axe. On a ainsi les trois equations
il faut faire
dv dt
^ +Pc — Q u — L — g cos 0,
Q = q. \\ — q cotO.
Equations du mouvemnt autour du centre de gravite. — Appelons A, B, C les moments d'inertie par rapport aux axes Gxyz. Soit, dans le
mouvement relatif autour de G, Ga le moment resultant des quantites de mouvement par rapport a G; ce vecteur G<r a pour projection sur Gxyz : a.r— A.p, <jy = Aq, az = Cr.
D'autre part, le moment resultant GS des forces exterieures par rapport a G se compose du moment du poids qui est nul et du moment de la reaction (X, Y, Z) appliquee au point H de coordonnees (o, — a, o). Le
moment resultant GS a done pour projections les moments de la reaction par rapport aux axes Gxyz
S.x. = — «Z, Sr= o, Sz= aX.
Pour exprimer le theoreme des moments dans le mouvement autour de G, on ecrit que la Vitesse relative du point a par rapport aux
axes CjX\ ViZi de directions fixes menes par G est egale au vecteur GS. i >n ,i ain9i les equations (n° 386)
c'esl-a-dire. comme I' = p. Q = q / \{ = q cot 0,
A h- ( G /• — A q cot 8) q = — a Z.
A -J-^ — ( G / — A q co 1 6 )p = o,
Conditions g4om4lriqu&s. — Pour fori re que la circonfeVence K roule sur le plan, il faut ecrire que la vitesse du point materiel II au contact est nulle. Gette vitesse est la somme geometrique de la vitesse de translation (u\ r, w) des axes G^i/iSi, egale et p;irallele a (a vitesse de G, et de la
vitesse due a la rotation to autour de G; cette derniere vitesse a pour composantes, suivant les axes Gzyz, qz — ry, oil x, y, z sont le-
coordonnes de H(o, — a, o). En ecrivant que les trois projections de la vitesse du point materiel II sur les axes Gxyz sont nulles, on a ainsi le> equations
(8) 1/ -\- (ir = o, v — 0, w — ap = o.
En ramplaeant if, v, w par leurs valeurs tirees de ces derniercs relations, dans les equations (6), on a un systeme de six equations (6) et (7; definissant 0, 9, >l>, X, Y. Z.
L'elimination de X, V. Z donnera trois equations definissant 0, z. •I en fonction de /.
Pour acliever le calcul, on peut proceder comme il suit : Eliminons X entre la premiere des equations (0) et la derniere des equations (7); nous aurons
du ■ C dr
— h q\v — qv cot (J = — —
dt 1 .■ a dt
ou, en remplacant //, c, w par leurs valeurs (8),
(9) ( G ■+- a- ) ^ — «-pq = o ; adjoignons a cette equation la deuxieme des equations (7) :
(10) A ^ — ( C r — Xq cot 0) p — o.
Nous aurons ainsi deux equations pouvant servir a determiner q et r en nction de 0. En etTet, re Ton a le» deux eqnations
fonction de 0. En efl'et , remplacont-y p par ^ : le facteur dt disparait, et
. „ „ . dr
(C + a-) -- — aT-q = o,
Jr + Xq cotO = o.
formant un systeme d'equations lineaires et homogenes definissant q et r en fonction de 0. En tirant q de la premiere pour le porter dans la deuxieme, on a, pour determiner r, Tequation du deuxieme ordre
. x d-r dr ■." Ga-
( I2) -77TT H 17 COtfJ
dU AG -h X ((-
