CHAPITRE XVII. — MOMENTS DINERTIE. l

2. On considere le volume compris entre deux cylindres de revolution de meme axe de rayons R et R' et de hauteur commune It. Calculer les moments d'inertie de ce volume suppose homogene par rapport a l'axe de revolution et par rapport a une droite perpendiculaire a l'axe qu'elle coupe et equidistante des bases.

Reponse. — M designant la masse du solide, on trouve

3. Pour representer la variation du moment d'inertie par rapport a des axes paralleles AB, on peut porter, sur chaque axe, a partir du point A ou il rencontre un plan fixe perpendiculaire a la direction des axes,- une longueur AI egale au moment d'inertie correspondant. Lieu du point I. ( Paraboloide de revolution.)

4. Si un solide admet un plan de symetrie materielle, ce plan est principal pour chacun de ses points.

Si un solide admet un axe de symetrie materielle, cet axe est principal pour chacun de ses points.

(La symetrie est materielle quand chaque element a meme masse que son symetrique. )

5. Dans un tetraedre regulier homogene, l'ellipsoi'de central d'inertie est une sphere. (Cela resulte de la disposition des plans de symetrie.)

6. Conditions pour que l'axe Oz soit principal pour 1'un de ses points.

"Lmxz Smn Reponse. — =

(La valeur commune de ces rapports donne la cote h du point.)

7. Les axes principaux d'inertie en un point d'un axe principal relatif au centre de gravite sont paralleles aux axes principaux relatifs au centre de gravite. ( Rcciproque. )

8. Etaht donne un cylindre droit homogene, dont la hauteur est A, dont la base Q. est situee dans le plan xOy, et dont les generatrices sont paralleles a l'axe 0~, soient 1^., I , I, les moments d'inertie par rapport aux axes Ox, Oy, Oz; demontrer les formules

lz= h jj* ( x--hy2) dxdy,

Ix — h jj" y - dx dy -+- ^- il, Iy = h jj* x2 dx dy

Les integrations sont ctendues a une section droite et la densite egale a i. ( Resal, Cours de V Ecole Poly technique.)

9. hit anl donnee une aire plane, qui est situee dans le plan des xy et que Ton regarde comme un ensemble d'elements materiels dont le z est nul, demontrer :

i° Que tout axe situt^ dans le plan de l'aire est principal pour un de ses points et calculer les coordonnees de ce point ;

2° Que le moment d'inertie par rapport h Oz est egal a la somme des moments d'inertie par rapport a Ox et Oy.

10. Moments d'inertie des surfaces de revolution par rapport d Vaxe. — Si l'equation y — f{x) represente la courbe mcridienne, tracee clans le plan des xy et rapportce a l'axe de revolution corame axe des x, le moment d'inertie de la surface engendree, par rapport ;i cet axe, sera donne par la formule

ou e represente l'epaisseur constante de la surface materielle supposee infiniment mince et oil p est la densite constante de la couche.

Surface laterale du tronc de cone. — Si /• et /•' sont les rayons des deux bases du tronc, on a

Calotte spherique de rayon R et de hauteur II I = MB (R-f) -

11. Moments d'inertie des solides de revolution homo genes par rapport a Vaxe. — Tronc de cone. — Soient r et r' les rayons des deux bases du tronc; on a

io /'3 — /■ 3

Segment spherique a deux bases. — Soient r et r' les rayons des deux bases du segment, H sa hauteur et R le rayon de la sphere, a laquelle il appartient; on trouve

I = — r.;Ai\ 2oR2H2-Hi5(/-2-f- r'-Y-— 3H*1.

(Dostor, Archiv. de Grunert.)

12. On considere un point fixe O et un axe variable 06 passant par ce point On mene un plan P perpendiculaire a. OS, a une distance de O egale au rayon de gyration d'un systeme materiel autour de OS. Enveloppe du plan P y

[Cette enveloppe est un ellipso'ide (Glebsch, Crelle, t. 57).]