CHAPITRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE
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Study a fait connaitre dans le tome XXXIX des Mathematische Annalen, pour determiner la position d^n solide un systeme de huit coordonnees homogenes liees par une relation bilinenaire, presentant une analogie remar- (juable avec les six coordonnees pluckleriennes d'une droite liees par une relation bilincaire : Study a repris cette iheorie dans son livre Geornetrie der Dynamen (1903), pages 58o-583. On trouvera un expose i'rancais de ce systeme de coordonnee dans un arcticle de Bricard, Sur la Geornetrie des feuillets de M. Rene de Saussure, etude analytique (Nouyelles Annates de Mathematiqu.es , janvier 1910).
Study a calcule la force vive d'un solide, avec son systeme de coordonnees, dans un article du Journal de Jordan, t. VI J . 191 1.
EXERCICES
1. Dans le rnouvement d'un corps pesant de revolution assujetti a glisser sans t'rottement sur un plan horizontal, l'axe de revolution peut-il passer par la verti- •cale ? Ouelles doivent etre les conditions initiales pour qu'il en soit ainsi ?
2. i° Une plaque pesante ABC dont le perimetre contient un segment rectiligne AB s'appuie par ce cote AB sur un plan fixe qui est horizontal et sur lequel BA glisse sans frottement. Cette plaque, qui est immobile a l'origine du temps, est abandonnee a Taction de la pesanteur. *
On demande la condition necessaire et suffisante pour que pendant le mouvement, le cote rectiligne AB se deplace parallelement a sa position initiale.
20 La condition demandee est, en particulier, satisfaite pour une plaque homogene dont le perimetre est une demi-circonference de cercle.
On considere une plaque homogerte demi-circulaire, dont le rayon est egal a rn ; on suppose, en outre, qu'a l'origine du temps la plaque est immobile et fait avec le plan horizontal un angle, de 3o°. On demande de trouver, dans ces hypotheses particulieres, une limite superieure et une limite inferieure du temps qui s'ecoule depuis l'origine jusqu'a l'instant oil la plaque semi-circulaire vient co'incider avec le plan horizontal. (Agregation, 1898.)
3. liquations du rnouvement d'un corps pesant sur un plan horizontal parfaitement poll. — On suppose le corps termine par une surface convexe quelconque S, definie comme il suit. Soient Gxyz les axes principaux d'inertie relatifs ;ni centre de gravite : menons un plan tangent P a la surface S et appelons y, y',
> cosinus des angles que fait la normale Gzy au plan P avec les axes Gxyz; la distance £ du plan tangent P au point G est une fonction connue de y, y', y", et les coordonnees x, y, z du point de contact sont cgalement des fonctions connues de y, y', y" : par exemple, si S est un ellipsoi'de ayant des axes a, b, c diriges suivant Gxyz, on a pour £ la valeur \/a-y2-t- 6Jy'--+- c2y"2.
Supposons alors le corps place sur un plan horizontal fixe P et prenons les mimes axes fixes G que dans le cas ou la surface S est de revolution (n° 407).
Appelons 0, 9, -l les angles d'Euler du triedre Gxyz avec le triedre Gxwylz[ parallele aux axes fixes. Le corps etant tangent au plan horizontal, la verticale G z, esl perpendiculaire au plan tangent et le ^ du centre de gravite est une fonc-
lion connue dcs cosinus y, Y'j Y" ont Pour valeurs sin 0 sin 9, sinBcoso, cosO. On a done
do plus, les coodonnees x, y, z du point de contact par rapport aux axes Gxyz sont aussi des fonctions connues de 6 et 9.
D'apres cela la position du corps depend de cinq paramelres I, r0 0, 9, <b.
Les seules forces exterieures etant le poids et la reaction normale de grandeur R dirigee parallelement a Gs„ on a d'abord (mouvement de G)
M -r-f = 0. M —r- = o, M -— = R — dP dtl ' dt* b
On appliquera ensuite les equations d'Euler au mouvement relatil autour de G# Les seconds membres L, M, N de ces equations sont les moments de la reaction par rapport aux axes Gx, Gy, Gz. Or cette reaction a pour projection sur ces axes Ry, Ry', Ry" et est applique au point de contact de coordonnees x,y, z.
Done, L, M, N ont pour valeurs R(y*(" — «y')> — x~(" )i R(^T' — }"{),
ou les trois parentheses qui multiplient R sont des fonctions connues de 0 et f. On a ainsi six equation pour definir £, rj, 0, 9, ^ et Ren fonction du temps. La projection horizontale de G est animee d'un mouvement rectiligne uniforme.
Ces equations possedent deux integrates premieres fournies par les theoremes generaux : i° forces vives
MC'J-+- A/?2-+- Bq--h C'r- = — H^C-f- h>
20 Dans le mouvement autour de G la somme des momenls cinetiques par rapport a Gzl est constante
A p sinO sin9 -4- B</ sin6 COS9 -+- O cos6 = k.
4. Comment faut-il modifier les formules de l'exercice precedent quand le corps pesant est limite par une portion de surface developpable et touche alors le plan horizontal tout le long d'une generatrice de cette surface ?
5. Mouvement d'un cone droit de revolution homogene et pesant glissant sans frottement sur un plan horizontal.
Le cdne va toucher le plan suivant une generatrice : le centre de gravite etant sur l'axe du cone, on pourra prendre cet axe pour axe Gz. La Geometrie montre que C et 8 sont constants : d'ailleurs A = B. Les reactions du plan rencontrant toutes l'axe du cone Gz, on a /• = rQ; les theoremes des forces vives et des moments montrent alors que 9' et <]/ sont constants. Les angles 9 et 6 varient done proportionnellement a t.
6. Trouver le mouvement du cone de l'exercice precedent eu supposant qu'on ait fixe sur la base du cone deux points materiels egaux diametralement opposes.
Alors A et B ne sont plus egaux. On obtient quatre integrales premieres en appliquant le theoreme du mouvement du centre de gravite G, le theoreme des forees vives et celui des moments par rapport a G^r
7. Une sphere creuse, pesante et homogene, glisse sans frottement sur un plan horizontal. Un point M pesant glisse sans frottement a l'interieur de la sphere. Mouvement du systeme.
