CHAP1TRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE

Reponse. — Le mouvemerit du systeme depend de 7 para metres : 2 pour fixer la position du centre de la sphere; 3 pour fixer la position de la sphere autour de son centre, et 2 pour fixer la position du point mobile sur la sphere.

Remarqnons d'abord que le mouvement de la sphere autour de son centre C (qui est son centre de gravite) est immediatement connu. Les forces qui sollicitent la sphere, eonsideree comme un systeme isole, sont, en effet, son poids, la reaction du plan et la reaction du point mobile, toutes passant par son centre C. D'apres le theoreme des moments des quantites de mouvement generalise, le moment total des quantites de mouvement par rapport au point C est done constant, et le mouvement de la sphere autour de son centre est une rotation uniforme autour d'un axe passant par C et fixe dans la sphere et l'espace.

Des lors, il suffira de quatre integrales pour achever de determiner le mouvement. Deux integrates sont donnees par le theoreme du mouvement du centre de gravite qui montre que la projection horizontal e du centre de gravite du systeme est animee d'une translation rectiligne et uniforme.

Rapportons alors le systeme a trois axes de directions fixes ayant pour origine la protection i< du centre de gravite G sur le plan horizontal qui contient le centre de la sphere, soit (g xv g)\, gzx), gzx ctant vertical. Pour etudier le mouvement par rapport a ces nouveaux axes, il n'y aura pas a changer les forces exterieures appliquees au systeme, parce que le nouveau triedre est anime par rapport a l'ancien d'un mouvement de translation reetiligne et uniforme.

Soient m' la masse de la sphere, m celle du point. On a, en designant par Rle rayon de la sphere,

CG = X = m R. MG = [J. = m R.

rrt -t- m m -+- m

La position des deux points M et G est definie par Tangle 6 de la projection horizontale de CG avec gxx et Tangle 9 de GG avec g zv Le mouvement du point C esl le memo que si ce point etait un point materiel de masse m' auquel seraient appliquees toutes les forces exterieures appliquees a la sphere (pesanteur, reaction normale du plan horizontal, reaction du point M sur la sphere dirigee selon MC). Si Ton applique au systeme le theoreme des moments des quantites de mouvement par rapport a gzx et le theoreme des forces vives, on obtient deux integrales premieres qui definissent G et 9 en fonction de t :

sin- 9O' == const..

( m'/.--^ ni [l- ) sin;90''J-+- [(m'A--+- m u,2) c»»s29 -+- m R2 sin292-] o'" = — 2 mgR eos 9 -+- consi .

Si Ton elimine 0' entre ces deux equations, on a / en 9 par une quatradure. I'ainlevk. Lecons sur l' integration des equations de la Mecanique ( Hermann ).]

8. Mouvement d une sphere pesante et komogenc glissant sans frottement sur im ellipsoide de revolution d un axe vertical 0:.

Reponse. — Les forces exterieures appliquees a la sphere sont la pesanteur et la reaction de I'ellipsoTde (normale a la surface) : ces forces passant, par le centre C de la sphere, le mouvement de la sphere autour de ee poiot est un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe tiixe dans l'espace et dans la sphere.

Quant au mouvenient du centre dc gravity C, e'est celui d'un point pesant mobile sur une surface de revolution parallele a l'ellipsoi'de donnee (n° 276). Le theoreme des forces vives et le theoreme des moments par rapport a Oz donnent deux integrales premieres qui determinant le mouvement. (Paini.kvk, ibid., p. 3i.)

9. Uu corps solide pesant et bomogene admet un axe de symetrie. Cet axe a un point fixe O, et il est assujetti a glisser sans frottement sur un cercle fixe horizontal dont le centre est sur la verticale de O. Mouvement du systeme.

L'axe de symetrie Oz est un axe principal d'inertie relativement au point O.

Soient Ox et Oy les deux autres axes principaux d'inertie relatifs a O, Ozy la verticale du point 0, O^, et Oyx deux hori/ontales rectangulaircs fixes, 01 la trace du plan /()./■ sur le plan ylOx1.

L'angle z{Oz est constant par suite des liaisons. La position du solide depend done de deux parametres

x^Ol = 6 et IG\r = 9.

Le centre dc gravite G du solide est sur son zl est constant, et, par suite, le travail de la pesanteur est nul.

Le theoreme des forces vives et le theoreme des moments cinetiques par rapport a Ozi: que la reaction de O rencontre et a laquelle la pesanteur est parallele, donnent deux integrales premieres du mouvement

A/?-+B q- -+- C r2 — h, A p sin0osincp -+- Hq sin O0 cos 9 -h O cos0o = K.

D'ailleurs on a

p == (ii' sin O0 sin 9, q = -y sin O0 cos 9, /• — 6' cos00-h 9'.

Remplagant et eliminant 'V, on a £ en 9 par une quadrature (Painlev£, ibid., p. 82. )

10. Un solide de revolution pesant et homogene est traverse suivant son axe par une aiguille qui lui est invariablement lice et dont les extremites glissent sans frottement sur deux regies L et L' non paralleles. Mouvement de ce corps.

Beponse. — La position du systeme depend de deux parametres : un pour determiner la position de l'aiguille de longueur constante AB. et un pour fixer l'orientation du solide autour de cette droite.

Le theorems des forces vives donne une integrale premiere du mouvement.

D'autre part, les forces exterieures a savoir la pesanteur et les reactions des regies, ont un moment nul par rapport a i'axe de revolution AB; si done on etudie le mouvement du solide autour de son centre de gravite G, point pour lequel AB est axe principal d'inertie, l'une des equations d'Euler montre que la composante /• suivant AB de la rotation instantanee du solide dans ce mouvement est constante. D'ou encore une integrale premiere du mouvement.

Ainsi le mouvement depend de deux parametres, et Ton en a deux integrales premieres.

Pour fa ire le calcul, on prendra pour axe des c la perpendiculaire commune