CHAPITRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE
aux deux droites L et L'; pour origine le milieu de leur plus courte distance; pour plan des xy un plan perpend iculaire a O;; pour axes des x et des y les bissectrices des projections de L et L' sur ce plan.
En appelant 0 Tangle que fait avcc 0.£ la projection de l'aiguille sur le plan <les xy, et Tangle que fait un plan passant par l'aiguille et lie au solide avec le plan projetant l'aiguille sur le plan des xy, on arrive a des expresssions de la forme
^ / ' J a cos 2 0 b sin :>. 8 -t- c ^ J V a' cosO -f- b' sin 0 -t- c' ' •b -f 0 cos a = X £ -+- jj. , X et a ctant des constantes, et a designant Tangle constant de l'aiguille avecO-c.
Ge qui precede s'applique au cas ou les droites L et L' se rencontrent. II faut examiner a part le cas particulier oil les deux droites sont paralleles. [Painleve, Legons sur V integration des equations de la Mecanique (Hermann), p. 36; i8y5.]
11. Un corps solide pesant a deux de ses points A et B qui glissent sans frottesur deux droites fixes paralleles L et L'. Mouvement du solide.
Le centre de gravite G du solide n'est pas en general sur la droite AB, Soit P le pied de la perpendiculaire abaissee de G sur AB. Le point P decrit une droite parallele a L, L' et que nous prenons pour axe des z. L'axe Ox est une perpendiculaire a L et L', menee dans le plan de ces droites.
Les deux parametres par lesquels on peut definir la position du systeme sont £ le z de G et tL Tangle du demi-plan ABG avec le demi-plan AB^ compte positivement, de droite a gauche autour de la direction AB.
Le theoreme du mouvement du centre de gravite applique a Oz nous donne une premiere integrate du mouvement : en effet, les reactions en A et B etant norma les a L et a L', on a
m|| = mt
l en designant par a, p, y les composantes suivant Ox, Oy,0 z de la pesanteur qui s'exerce sur Tunitc de masse); done
Xi == l y t2-h Xf -+- p..
Le theoreme des forces vives nous fournit une autre integrate o.u figurent y . T et Si Ton y remplace ^ et £' en fonction de t, on trouve que t s'elimine et que 'l depend de t par une quadrature.
On trouve
eV-[ A -+- cos2,|] = B cos 6 -t- G sin 6 -h h, 'ii designant par A, 1>, C des constantes. (Painleve, ibid., p. 38.)
12. Les exlremites A et A' d'une barre homogene pesante de longueur 2 I et de masse M sont assujetties a glisser sans frotternent sur deux plans horizontaux fixes ayant pour equations z = zh a : chaque point de cette barre est attire par 1'origine. 0 proportionnellement a sa masse et a sa distance. Trouver le mouvement de la barre et les reactions des plans.
On appellera £ et r, les coordonnees du centre de gravite G de la barre dans le plan ./ Or, 0 Tangle constant que fait la barre avec la verticale, 9 Tangle que
fait la projection de la bane sur le plan xOyavec l'axe Oy et a Tattraction du point 0 sur l'unite de masse a l'unite de distance. Chercher la surface decrite par la barre quand la valeur initiale de — est
egale a u. (Dans certains cas particuliers cette surface est un liyperboloi'de. )
( Licence. )
13- On considere un solide S pesant, ayant la forme d'un cone droit dont le rayon de base est R. Le centre de gravite de ce corps est situe en un point O de l'axe de revolution du cone, a une distance R de sa base. L'ellipsoide d'inertie du corps S relatif au centre de gravite 0 est une sphere.
Le cone S est mobile autour de son centre de gravite 0. suppose fixe, et la circonference de sa base est tangente a un plan horizontal fixe II situe au-dessous du point 0 a unc distance R de ce point.
Etudier le mouvement du corps S en supposant que la circonferance de base du cone glisse avec frottement sur le plan II.
Calculer la reaction du plan II et celle du point fixe O.
Conditions intiales. — Soient 00' la perpendiculaire abaissee du point 0 sur le plan II et OC la position initiale de la perpendiculaire abaissee du point 0
sur la base du cone :
A l'epoque t — o, l'axe instantane de rotation est situe dans Tangle GOO', et le sens de la rotation initiale est choisi de telle sorte que le corps S appuie sur le plan II. ( Agregation, iSij5.)
14. Imaginons un solide pesant qui remplisse les conditions suivantes :
i° Le solide est termine par une arrete vive ayant la forme d'un cercle K de centre H et dc rayon a;
2° Le centre de gravite G du corps est situe sur la perpendiculaire II .3 elevre par le centre H au plan du cercle K ;
3° L'ellipsoide d'inertie relatif au centre tie gravite G est de revolution autour de cette perpendiculaire HG.Z.
Supposons ensuite que le corps solide ainsi constitue soit assujetti a rouler sans glisser sur un plan horizontal fixe et clierclions les equations du mouvement.
Soit P le point de contact du cercle K avec le plan fixe. Prenons comme origine mobile G et comme triedre de reference les axes suivants : i° la droite G^ parallele a la droite PH qui joint le centre du cercle K au point de contact P; 2° la droite HG z normale au plan du cercle K; 3° la droite Gx perpendiculaire au plan zGy.
Designons par 6 Tangle de G^; et la verticale ascendante G^ et par 'I Tangle de G x avec une horizontale fixe. Ces deux angles determinent la position du triedre Gxyz.
Pour fixer la position du corps solide par rapport au triedre Gxyz, il suffit de
connaitre Tangle o que fait un rayon du cercle K, invariablement lie au corps,
> > avec Taxe Gy. La rotation instantanee il du triedre et celle du corps w sont
donnces par les memes formules que dans le cas du cerceau (411.)
En appliquant une methode identique a celle de ce numero et faisant HG = c,
on trouve finalement que q etrsont donnees en fonction de 0 par deux equations
