CHAPITRE XXI. — CORPS SOLIDE LIBRE
liaeaires et homogenes simultanees du premier ordre, el que ['elimination de 7 conduit a l'equation lineaire
d-r A dr Ca
-77- -t- cotO -+- ( c cotO — rt )/• = o,
d<>- 'd'i AaJ+lc1+ AC ; '
donnant /■ en t'onction de 0. En remontant, on a q en t'onction dc 0. En prenant ensuite 1'equation des forces vives
A (p--hq-) -b Cr- = — ig (a sinO -+- c cosO ) -4- h.
on obtient 0 en fonetion de I par une quadrature. (Appell, Rendiconti del ('inula Matematico di Palermo, aoiit 1899.)
On peut, par une methode analogue, etudier le mouvement d'un corps pesant de revolution assujetti a rouler sans glisser sur un plan horizontal fixe. Nous reviendrons sur ce probleme en Mecanique analytique, comme exemple de syst ernes non holonomes. On trouvera une etude detaillee de ce probleme dans ['Opuscule intitule : Les mouvements de roulement en Dynamique (Collection Scientia, Gauthier-Villars, editeur).
15. Roulement d'une sphere sur une surface [Routh, Advanced part of a Treatise on the Dynamics of a system of Rigid Rodies (London, Macmillan and C° 1884, p. ia3 ) J. — Soit une sphere homogene de rayon a et de masse 1, assujettie a rouler et a pivoter sur une surface donnee et sollicitee par des forces qui admettent une resultante unique passant par le centre.
Sojj G le centre de la sphere. Prenons pour axe la droite joignantle point de contact de la sphere avec la surface au point G et pour axes Gx et Gy deux axes perpendiculaires quelconques : le plan xGy est alors parallele au plan tangent a la surface au point de contact.
Appelons V la vitesse absolue du point G et «, t>, w ses projections, sur les ixes mobiles: la vitesse V etant parallele au plan tangent commun a la sphere et
a la surface sur laquelle elle roule, on a w = o. Soient, comme plus haut, £2 la
rotation instunlanee du triedre Gxyz et P, O, R ses composantes, w celle de la sphere et />, 7, /• ses composantes.
Soient X, Y, Z les composantes de la resultante des forces appliquees suivant G x,Gy,G z", la reaction de la surface se compose d'une force normale dc grandeur N dirigee dans le sens G z et d'une force tangentielle dont nous appellerons F et F' les composantes suivant et Gy. Designons aussi par /,- lc ra^on de
gyration dc la sphere autour d'un diamctre k Les equations du mouvement sont.
du a- v k-
dt a2-hk- a--\-k-
Cos equations montrent que le centre de gravite sc mcut comme le centre de
gravite d'une sphere identique assujettie a glisser sans frotlernent sur la memo surface et sollicitee : i° par une force appliquee en G et ayant pour composantes,
suivant G x et G y, — — oP /• et — -aO/1; 20 par une force egale a la force
reellement appliquee (X, Y) reduite dans le rapport -^r^-pr
16. Exe/nples. — Si la surface fixe sur laquelle roule la sphere est le plan, P et Q sont nuls. Si done une sphere homogene roule et pivote sur un plan fixe sous faction de forces admettant une resultante unique qui passe par son centre, le mouvement du centre est le meme que si plan etait parfaitement
poli et les forces appliquees reduites aux - de leurs valeurs (Routh, loc, ci£., p. 126.)
Pour d'autres exemples, nous renverrons au Traite cle Routh qui contient un grand nombre d'elegants exercices, notamment le roulement d'une sphere sur une sphere, sur un cylindre, sur un cone, les petites oscillations autour d'une position d'equilibre stable ou d'un mcuvement stable.
17. Generalisation du probleme du cerveau [ Voirle Memoire intitule : Ueber die rollende Bewegung einer Kreisscheibe auf einer Beliebigen Fldche .., von Woronetz in Kiew (Math. Annalen, t. LXVII, 1909).]
18. Mouvement d'un solide dans Vinterieur duquel ontlieu des rnouvernents cycliques stationnaires donnes (Memoire de Silvio Ena, Memorie delta B. Accademia dei Lincei, 5C serie, t. VII, 1909 p. 533.)
