I. — THEORfiMES GflNflRAUX

413. Equations du mouvement relatif d'un point. — Les Equations de Lagrange permettent, comme ont l'a vu, de trouver le mouvement relatif d'un point par rapport a un systeme anime d'un mouvement connu (nos 259, 263. 282), et nous verrons plus loin que ces memes equations s'appliquent au mouvement relatif des systemes holonomes Une th^orie particuliere du mouvement relatif n'est done pas indispensable; neanmoins, a cause de l'importance de la question, nous la traiterons directement.

Le probleme se pose comme il suit : soient un systeme de forme invariable, S, anime d'un mouvement connu et un point materiel m sollicite par certaines forces; trouver le mouvement relatif de ce point par rapport au systeme S qu'on appelle systeme de cornpar aison. Pour definir le mouvement du systeme de comparaison S, il suffit, comme nous l'avons fait en Cinematique (n° 45), de definir le mouvement de trois axes Oxyz invariablement lies a ce systeme. Le point m possede a chaque instant, une vitesse

absolue V„. une vitesse relative Vr par rapport au systeme de

comparaison, et une vitesse d'entrainement Ve; entre ces trois vecteurs a lieu la relation geometrique

va=vr+ve.

Pour les accelerations, on a une formule analogue avec un

terme de plus : soient J„ l'acccleration absolue, l'acceleralion

, -> relative, .),. ['acceleration d'entrainement et J' un certain vecteur

appele acceleration complcmentaire; on a l^galite g^ometrique

(1) j« = Tr-h h -+- y.

Cos resultats etant rappeles, venons au probleme qui nous

occupe actuelleinenl. La resultante F des forces agissant sur le

point m est egale a ['acceleration absolue Jn du point multiplied par la masse m. On a done, d'apres (i), la nouvelle egalite geometrique

(2) F = mJr + /rc Je-K*» J', d'ou

(3) mJr= F — mJ,. — mi',

Gette egalite" geometrique se traduit algebriquement par trois equations obtenues en projetant les vecteurs considers sur les axes mobiles; on obtient ainsi ce qu'on appelle les equations du

mouvement relatif. Les projections de J, sur les axes mobiles

d^ oc d~ %' d^ z

Oxyz sont -^~r> ~dr'> ~dp ) nous appellerons X, Y, Z celles de la

force F, (J6>).,, (J<?)/> (Je.)s celles de Pacceleration d'entrainement 5e, J'r, 3'; J ,, celles de J'. On a alors les trois e"qations

i Ul~d^ — ^ — ^(Je).r — J .' ?

(4) ' m ~dt* ~ ^ — m(Je)y — miy, ill ~~JJT — 'J — m\*e)z — miz.

Les projections de Je et J' sont connues, car on connait le monvement du systeme de comparaison S ou mouvement d'entrainement.

Par ^integration des equations differentielles (4) on obtiendra x, y, z en fonction de t, e'est-a-dire les equations du mouvement relatif cherch^ sous forme finie.

Pour rappeler la forme des Equations differentielles (4) on donne

> -> Jjjl

des noms aux deux vecteurs — mJe et — mJ' dont les projections figurent dans ces equations.