CHAPITRE XXII. — MOUVEMENT RELATIF
On appelle force centrifuge on encore force d'inertie d'en-
trainement le vecteur — mSe 6gal el oppose au produit de l'acceleration d'entrainement par la masse, et force centrifuge
composee le vecteur — m J' 6 gal et oppose an produit de l'acceleration complementaire par la masse.
En resume : Les equations du mouvement relatif d'un point, par rapport aux axes mobiles Oxyz, sont les memes que si ces (i. res etaient fixes et si Con ajoutait aux forces qui agissent reellement sur le mobile deux forces fictives, la force centrifuge (ou force d'inertie d entrainement) et la force centrifuge composee.
La definition geomElrique de la force centrifuge composed
— mJ' requite immediatement de celle de J'. Les projections
— mJ'j,, — mJ'r, — mJ'„ de cette force sont. d'apres les valeurs donnees pour les projections J',., J'v, Jl (n° 59),
dz dy\ ( dx dz
l —im \q
q dt r dt } ' ~"~ V dt r dt
*m\Pdt-qdtr
oii /?, q, r sont les projections sur Oxyz de la rotation instantanee w du systeme de comparaison.
414. Force vive relative. — On peut evidemment faire sur les equations (4) toutes les combinaisons analjtiques employees dans I'etude du mouvement absolu.
Par exemple, on formera une combinaison analogue a celle qui conduit au theoreme des forces vives, en multipliant ces Equations (4) respectivement par dx, dy, dz et ajoutant. Dans cette combinaison les termes provenant de la force centrifuge composee disparaissent, comme il resulte des expressions (5), et Ton obtient 1'equation
— - - = X dx ■+- Y dy -+- A dz — /n(3ff),vdx — m(le)ydy - mfie)zdz.
La di I) erentielle de la demi-force vive relative est done igale au travail elementaire des forces applique'es au point et
270 DYNAMIQUE DES SYSTFMES.
de la force centrifuge. Le fait que le travail de la force centrifuge composee est nul r^sulte g6ometriquement de ce que cette force,
etant norinale a la vitesse relative V, , est normale au deplacement relalif dx, dy. dz.
415. Equilibre relatif. — On aura les equations de l'equilibre
relatif en supposant dans les equations prec^dentes T/^" '^TF
, dx dy dz , "t, .
nuls, ainsi que ^5 ^--> -ft \ en consequence, J sera nul, ct Ion
aura
X — m(Je)x=o, Y — m(Je)y = o, Z — ra(.J,.)- = o,
on oblient done les equations de l'equilibre relatif en ecrivant (rue
la force F fait equilibre a la force centrifuge.
Un point x, y, z satisfaisant a ces trois relations est toujours une position d'^quilibre relatif, car, si Ton y place le mobile, sans vitesse initiate relative, des trois forces dont deux fictives, qu'on peut considerer cotnme produisant le mouvement relatif, l'une, la force centrifuge composee, est nulle puisque la vitesse relative est nulle, et les deux autres se font equilibre; le point restera done au repos relatif.
Application. — Position d'equilibre relatif d'un point pesant pouvant glisser sans frottement sur une courbe plane G tournant autour d'un axe vertical Oz de son plan avec une vitesse angulaire constante 10. ' Nous compterons positivement les z de bas en haut.
Les forces agissant reellement sur le point considere m sont : son poids
> -> nig et la reaction normale N. Pour avoir les conditions d'equilibre relatif,
nous pouvons regarder la courbe C comme fixe et ecrire qu'il y a equilibre
entre ces deux forces et la force centrifuge <I>.
Pour calculer cette derniere, nous considererons le point geometrique du systeme de comparaison, e'est-a-dire de la courbe G, coincidant avec m : dans le mouvement d'entrainement, ce point decrit le parallele de rayon p == Pm; son acceleration a pour grandeur <o-p et est diri^ee de m vers P;
la force centrifuge $ aura done pour valeur mw-p et sera diri^ee suivant le prolongement de Pm. Pour qu'il ait equilibre. il faut et il suflit que les
forces 4> et m aient une resultante K normale a la courbe. Les triangles semblables mPQ, m(I>R donnent
