CHAPITRE XXII. — MOUVEMENT RELATIF
de Oy avec une vitesse angulaire constanle u). (Kouth, Rigid Dynamics, Elementary Part. p. 343.)
Les forces appliquees a la barre sont le poids M# applique au milieu G et les reactions normales des axes Ox et Oy. Pour trouver le mouvement relatif de la barre par rapport a ces axes, on peut les regarder comme
lixes, a condition d'appliquer a chaque point m la force centrifuge (IJ et la
force centrifuge composee <I>'. Nous appliquerons ensuite au mouvement relatif le theoreme des forces vives, en nous rappelant que le travail des forces centrifuges composees est nul, et en remarquant, que, dans le deplacement relatif, les travaux des reactions sont nuls. Appelons M/c2 le moment d'inertie de la barre par rapport au point G, 0 l'angle qu'elle fait avec Ox, de sorte que les coordonnees £ et r\ du centre de gravite sont /cosO et / sin 8. D'apres le theoreme de Kcenig, la force vive relative de la barre est \l/'-0'2-f- MA"20'-, 0' designant la derivee de 0 par rapport a t. Le travail elementaire du poids est Mgdv\, e'est-a-dire [\i«°7cosG 70. Enfin la force
Fig. 249.
centrifuge *I>, appliquee au point m d'abscisse x, est parallele a-. Ox et a pour valeur mu-x] son travail elementaire est mui-xdx; si done on designe par p la distance Bm, on a x = p cosO, et quand la barre glisse, dx — — p sin 0 70; d'ou, pour moi-xdx, la valeur
— m co2 p- sin 6 cos 6 70.
D'apres cela, la somme des travaux elementaires des forces centrifuges est — 2 mp2oj'2sin 0 cosO 70 ; comme I,mp- est le moment d'inertie de la barre par rapport au point B, moment egal a Mk--\- Ml-, on a, pour la somme des travaux des forces centrifuges, — M( k- -+- I- )oj2 sin 0 cos 0 70. Inequation des forces vives est done, en remarquant que, pour une barre homogene,
k- — ^ j et divisant j)ar M,
(1) 7^ 8'2 = ^7cos0 70 — [~-^- sin 0 cos 0 70,
qui donne immcdiatement 0' en fonction de 0 par une quadrature. En suppo-iiiit. j)our simplifies que 0' soit nul pour 0 = 0o, on aura
{%) 0'2 = w2(sin0 — sinOo) (77^7, — sin0 — sin0o)> "
9jS DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
d'ou Ton tire t en fonction de sin fJ par une integrale elliptique de premiere espece et sinO en fonction elliptique de t. Dans la discussion, il faut remarquer que sin8 ne peut prendre que des valeurs rendant le second membre positif.
Equilibre relatif. — En divisant par dt Fequation de mouvement ( i ) et effectuant, on a
(3) = cosO — oj2 sinO cosO.
On obtient les positions d'equilibre relatif en egalant le second membre a zero. On a ainsi cos 0 =o qui donne la position verticale, puis
4 /a)2 sin 0 = 3^-
qui ne donne une valeur de 0 que si to est suffisamment grand. Pour nous rendre compte de la stabilite, appelons a la valeur de 0 correspondant a une de ces deux positions, et faisons 8 = a -f- ©, ou 9 est tres petit. Nous aurons alors, en substituant et developpant le second membre suivant les puissances de o, en negligeant les puissances superieures,
(4) t=^T7„„a + ^coS2a
Si la quantite n — ~~ sina -+- oj2cos?.a est positive, la position d'equilibre
correspond a 0 = a est stable, et la duree des oscillations infiniment
petites autour de cette position est-1—; si cette quantite est negative, Pequilibre est instable. On verifiera que, quand la position d'equilibre verticale = — j existe seule, elle est stable; quand la position d'equilibre oblique existe aussi, c'est elle qui est stable, et la verticale, instable.
3 cr
Le cas intermediaire, ou ■ y ■ serait egal a i, merite une attention parti-
culiere. Alors les deux positions d'equilibre se confondent avec la verticale; si Ton fait encore 6 = — -+- 9, 9 etant suppose infiniment petit, les
termes en 9 disparaissent, et Ton a, en ne gardant que les premiers
termes,
fit- ~ 2 r'
L'equilibre est done stable, car 9 tend a diminuer en \aleur absolue. L'angle 9 est alors donne en fonction de t par une fonction elliptique.
La barre etant abandonnee sans vitesse dans une position correspondant a 9 == 90 (90 infiniment petit), le temps qu'elle met a revenir dans la ver-
