CHAPITRE XXII. — MOUVEMENT RELATIF

Si I'on fait sur ces Equations la combinaison analylique qui donne liquation des forces vives, on a

d'-^— = X dx H- Y dy + Z dz -h m<? dz.

car les termes en co disparaissenl,

Si done il existe pour (X, Y, Z) une fonction de forces U, on a l'inlegrale premiere

mv- rT ■>'-„■ sV

= U -h mgz 4- h.

'riG. Chute libre d'un point pesant. — Nous supposerons que fa chute s'effectue dans le vide : alors X, Y, Z sont nuls, et les equations du mouvenient sont

d-x . , dy

— r— = 2 t') Sill A — ~ 1

df- dt

, d'2y I . , dx ^ dz

I I < -~ = *2 to sin A — h COS A —

J dP V afe

<f2^ . dy

—j— — g — 2 CO COS A —7- •

dP- . ° dt

Nous supposerons que le mobile part de l'origine sans vitesse relative initiate. Les seconds membres des equations du mouvement etant des derivees exactes, nous pouvons integrer une premiere fois et nous avons, en tenant compte des conditions initiales,

j dx . ,

~di = ' 2 °J^' SH1 A'

1 dy

(2) < = 2 o)(x sin a 4- z cos a),

r dz

[ = gt — -iwy cos A.

Pour terminer l'integration on peut, dans 1'equation qui donne -^f > rem placer -~ > par leurs valeurs, ce qui donne

4 to2 1 = 2 to COS A gt,

'■ | ii.it ion lineaire du second ordre que Ton peut integrer exactement.

Mais, comme to est tres petit, on obtient une approximation bien suffilante en developpant x, y, z en series ordonnees suivant les puissances froissantes tie to et se bornant aux premiers termes.

Essayons done de verifier les equations (2) par les series

t x = a?o ■+■ -4- o)- afe-h...,

( 3 ) J y — J'O + WJ, -+- U)2j2 -h . . . ,

f = Z0 + (J)S|-hO)2 32 + ...,

dans lesquelles yo, to, &ij y\, Zi, etc. sont des fonctions de I, s'annulant, ainsi que leurs derivees premieres, pour t = o. Subsistuant ces developpements dans les equations (2) et egalant les coefficients des memes puissances de «>, il vient d'abord

dx0 dyn . dz0

Xq

Ensuite on trouve

dxx dy{ dzx

-dT = 0' lit cos*> gt*

Xi = O, }'i — COS A, C| = 0,

et ainsi de suite. De sorte que, si l'on neglige les termes en to2 dans les developpements (3), on a, pour valeurs approchees de x, y, z,

, gV-

X — O, JK = O) COS A, s = — — •

Le point reste done dans le plan des yz ; mais, au lieu de tomber suivant la verticale, comme il arriverait si la Terre ne tournait pas, il est le'gerement devie vers VEst, car y est positif. Dans le plan des y 'z, le point decrit la parabole semi-cubique

3 sjigy = 4 w s " cos X.

Gette equation permet de calculer la deviation vers l'Est pour une hauteur de chute donnee z.

Pour avoir la vitesse du mobile, il suffit d'appliquer le theoreme des forces vi\es qui donne immediatement pour la vitesse la valeur \figz.

Si l'on voulait pousser l'approximation jusqu'aux termes en to2, il faudrait tenir compte de la variation de g, comme l'a montre de Sparre (Bulletin de la Societe matTtematique de France, t. XXXIII); mais alors, d'apres Rudzki (Ibid., t. XXXIV), il faudrait introduire Tattraction de la Lune.