CHAPITRE XXII. — MOUVEMENT RELATIF
4-27. Pendule de Foucault. — Nous allons etudier le mouvement d'un pendule spherique de longueur /, en tenant compte du mouvement de rotation de la Terre. Gonservons les memes axes que, dans la question precedente, I'origine etant Ie point de suspension du pendule; les forces qui agissent sur ie mobile, en dehors de ['attraction de la Terre, se reduisent a la tension du lil que nous appellerons /?iN; les projections de cette force
ctant — wiNyj — mN|) — mN^i les equations du mouvement relatif seront alors
d-x T x . . dy
] d-y T y / . . dx . dz
(1) < -7-4- = — IN , + 20) sin A — h cosA —
) dt* I \ dt dt
d- z . z . dy
-7— = <?■ — IN - — 2(0 cos A —7- • dt1 6 I dt
Les equations differentielles du mouvement sont d'une integration difficiles; on peut chereher a les integrer par approximations successives; on opererait comme dans la question precedente. Abandonnons lecas general et placons-nous dans celui oil les oscillations ont une amplitude tres petite;
notre ap])roximation consistera a regarder — j ~ et leurs derivees d^ne
part, to d'autre part, comme de petites quantites du premier ordre, et a negliger leurs carres et leurs produits vis-a-vis des quantites finies. A cet ordre d'approximation, nous aurons constamment z == I, car l'equation de la sphere sur laquelle se meut le point pesant donne
el, en negligeant — el ~ z = I.
La troisieme equation du mouvement donne alors N=g', en portant cette valeur avec z = I dans les deux premieres, celles-ci se transforment en
d'lx g . . dy
d-y ir . , dx
—r- = — y -+- 2 to sin a — • dr- I J dt
<les deux equations delinissent le mouvement du pendule qui se fait sensiblement dans Ie plan tangent au point le plus bas de la sphere, comme il resulte de la valeur z = I.
Les equations (2) sont lineaires et a coeflicients constants; on pourrait done les inte'grer rigoureusement par des quadratures, mais nous allons
employer tine autre methode. Formons la combinaison analvtique des
forces vives
dv- g . . . . ' ',J
— = — y (# dx y dy),
et integrons, en appelant /■ et 6 les coordonnees polaires de la projection du pendule sur le plan des xy\ il vient
faisons mainlenafnt une combinaison analogue a celle des moments en ajoutant les (Equations (2) respectivement multipliers par — v et x; nous aurons
dt
/ dy dx\ . . / dx dy\
I x -7 y —r = 2 o> sin /. [ x — — (- r -=r J
\ dt J dt J \ dt J dt ]
equation integrable qui donne, en posant w sin a = w' et passant aux coordonnees polaires,
Cos part Lculier. — Traitons d'abord un cas particulier : le pendule e'tant en equilibre dans la verticale, donnons-lui une petite impulsion; il se met a oscilJer. Alors a l'instant initial on a r == o; l'equation (4) montre que la constante G doit etre nulle, et cette equation se reduit a
dQ ' ,
dt
Done le pendule semblera osciller dans un plan qui tourne d'un mouvement uniforme autour de la verticale Oz dans le sens positif, avec une
vitesse angulaire 0/; ce plan fera un tour complet dans le temps —7 ou -^y (temps sideral) qui, pour Paris, est de 32h environ.
Cas general, — Revenons maintenant au cas general des petites oscillations; l'equation (4) s'e'erit
dt ~
Si done on designe par 9 Tangle 0 — u>'t, on a l'equation (5) ,^=C,
analogue a l'equation des aires. Les quantites r et 9 sont les coordonnees polaires relatives de la projection horizontale M par rapport a un systeme
