CHAPITRE XXII. — MOU VEMENT RELATIF
EXERCICES
1. Trouver le mouvement relatif d'un point pesant sur un plan horizontal, en tenant compte du mouvement de la Terre.
/teponsc. — En prenant les axes du n° 425, on voit que le point reste dans le plan des xj\ z = o; la seule force appliquee, autre que l'attraction, est la reaction normale N du plan. Les equations du mouvement sont alors
d* x . . dy d2y . . dx „ dy
— — = — a o)Sin a — 1 —~ = 2(0 sin A — j— > o = it to — N — 2 m w cos A — f- • dt- dt dt1 dt 0 dt
La derniere equation donne la reaction qui d iff ere un peu du poids du corps,
a cause du terme en w. Les deux premieres definissent le mouvement dans le
plan des xy. En appliquant le theoreme des forces vives, on trouve que la vitesse
relative v du mobile est constante et egale a va. Designant par a Tangle de la
~ , dx dy
vitesse avec Ox, on a done = t>0cosa, — t>0sina. Ces expressions, portees
, . . , v . da. . ' ds
dans les equations du mouvement, donnent =2wsinA; comme ^ = t>ff,
s designant Tare de la trajectoire, on a
— 0 = — = po
da 2w sin a
Le rayon de courbure p est done constant et la trajectoire est un are de cercle de ties grand rayon.
2. Traiter directement par la Thcorie du mouvement relatif les problemes traites dans le premier Volume par la methode de Lagrange : page 49^ n° 260; page 001 problemes 22 et 23 : page 5o~, probleme 2.
3. Mouvement relatif d'un point pesant glissant sur une droite tournant uniformement autour d'un axe vertical fixe Oz qu'elle ne rencontre pas.
Soient OC ia perpendiculaire commune a l'axe Oz et a la droite, CM = r la distance du mobile an point C, et a Tangle de la droite avec l'axe. L'equation du mouvement est
— — — (o- r sin - a = — »• cos a,
dt3 0
equation Lineaire a coefficients constants avec second membre constant.
Le point se meut comme si la droite etait fixe et si le point etait repousse par la position d'equilibre relatif, proporlionnellement a la distance.
i. Si, • 1 a 1 1 s toute Tctendue de Ia trajectoire d'un poids pesant dans le vide a la -ui lace de la Terre, on regarde l'attraction comme constante en grandeur et direction, le point semble decrire, par rapport a la Terre, une parabole qui tourne uniforrnement autour d'un certain axe. [Boim (les formules que donne Resal dans les Nouvvlles annates, 1872, conduisent precisement a ce resultat).]
5. Mouvement de chute d'un point pesant dans le vide, quand on regarde la I ' rre < omrne un ellipsoVde do revolution homogene et aplati.
( De Saint-Gkrmain. Nouvelles Annates, > serie, t. II, i883.)
3op
6. Un tore pesant et homogene V est mobile autour d'un diametre equatorial ; O £' horizontal; ce diametre est anime d'une rotation uniforme to autour de la verticale du ecntre O. En un point M du diametre equatorial perpendiculaire a £0;' est place un poids additionnel m. Mouvernent du tore autour du diametre \0% (»). {Agregation, i87^.)
Soient OM=d; A et C les moments d'inertie du tore par rapport a un diametre equatorial et par rapport a l'axe de revolution.
Le mouvernent sera defini par Tangle 8 du rayon OM avec la verticale descendante.
L'equation du mouvernent est
( A -+- m d'1) 6" — w-( C — A 4- ni d2) sin 0 cos 6 = — rng d sin 0.
7. On donne une surface S dont l'equation, par rapport a trois axes rectangulaire Ox, Oy, O z, est
c designant la base des logaritlimes neperiens. Un point materiel M dont on prend la masse pour unite est assujetti a sc mouvoir sur la surface S; il est, en outre, soumis a Taction de forces exterieures donnces. La surface S tourne arec une vitesse angulaire constante w autour de la droite OA dont les equations, par rapport aux axes Ox, Oy, Oz, sont
i° Former les equations differentielles qui d^finissent le mouvernent relatif du point M sur la surface mobile S;
2° Calculer la reaction N de cette surface;
3e Etudier ce mouvernent relatif en supposant le point M attire vers le point O
par une force F proportionnelle a la distance MO, et vers le plan P, mene par
le point 0 perpendiculairement a la droite OA, par une force F, proportionnelle a la distance Mm du point M a ce plan P.
Les intensites des forces F et Fu a Tunite de distance, ont respectivement pour valeur to2 et 3to2.
A Torigine du temps le mobile M se trouve au point ayant pour coordonnees
de plus on a. au meme instant,
dx 2 to dy 2 w ~dt ~~ dt~fi'
( Agregation, )
8. Une circonference de rayon R tourne avec une vitesse angulaire constante oj autour d'un de ses diametres Ox suppose vertical.
Mouvernent d'une barre homogene pesante AB, dont les extremites glissent sans frottement sur la circonference.
(l) Gilbert, Memoire sur V application de la rnetfiode de Lagrange d divers problemes de mouvernent relatif, p. 276.
