CHAPITRE XXIII. — PRINCIPE DE D'ALEMBERT. 3o

se font equilibre en vertu de la liaison, c'est-a-dire que la somme des moments de ces forces par rapport aO; est nulle :

d2y d2x\ ^ri v ,

Cost l'cquation du n° 359, com me on le verifiera facilement.

13 1 . Equation generate de la Dynamique pour un systeme a liaisons sans frottement. — Soit un systeme de n points de masses tn i , m •> , . . . , in /( de coordonnees #4, y±. zA, #25 Ji*. zi-, ••• assujellis a des liaisons donnees realises sans frottement; ces liaisons peuvent d'ailleurs d^pendre du temps. Les points sont

sollicites par des forces donnees : appelons (Xv, Yv, Zv) les proejections de la rcsultaute Fv des forces donnees appliquees an

point de masse mv.

D'apres le principc de d'Alembert, il y a equilibre a chaquc

instant entre les forces d'inertie, les forces donnees Fv et les forces provenant des liaisons. Si done on imprime au systeme un deplacement virtuel guelconque, la somme des travaux des forces d'inertie, des forces donnees et des forces de liaison est nulle. Mais, si le deplacement virtuel est compatible avec les liaisons qui ont lieu a V instant t, la somme des travaux des forces de liaison est nulle d'elle-meme (n° 162); done la somme des travaux des forces d'inertie et des forces donnees est nulle.

Appelons &rv, oy,n dz,n les composantes d'un deplacement virtuel du point de masse mv. compatible avec les liaisons qui ont lieu a

V instant t : les projections de la force d'inerlie L, du point de masse //?., etant

dr- dp dt2

on ;i ['equation

(Zv- >»->^t) 8^v] = o,

qui doit avoir lieu pour tous les displacements virtuels compa-

appbll. — TratU dr. Micanique. n. 20

3o6 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

tibles avec les liaisons existanl a l'iiistant t. Gette Equation constilue X equation g6ne"rale de la Dynamique des systemes a liaison sans frollement.

On peut l'dcrire

2[Fv-'"v-^rvj5Mv=oJ

3MV etant le deplacement virtuel du point Mv de masse rav Elle differe de l'equation generate de la Statique (n° 170)

^ ( X v oxy -h Yv 5jkv -+- Zv &zv ) = o,

uniquement par la presence des forces d'inertie.

Nous commencerons par faire deux applications de cette methode a des problemes simples.

432. Probleme I. — Soient deux droites OA, OB situees dans un plan vertical et faisant avec Vhorizontale les angles a, [3; sur ces droites glissent sans frottement des points materiels pesants m\, m2, niz, nii rattaches entre eux par un fil flexible inextensible et sans masse, allant passer en O sur une poulie infiniment petite. On demande de trouver le mouvement du systeme.

La force d'inertie du point mt est un vecteur dirige, suivant OA; ce vecteur, compte positivement de O vers A, a pour mesure

-""rf?'

en designant par x la distance Omi. Comme tous les points subissent dans le mouvement des deplacements egaux, les forces d'inertie de m2, m.h m^ seront de meme des vecteurs diriges, le premier suivant OA, les deux autres suivant BO. Ces vecteurs ont pour mesures

dV- at* dt-

en prenant comme sens positif sur OB le sens B vers 0. Le sens positif sur les deux cotes est done BOA.

II nous faut ecrire que le systeme est en equilibre sous Taction de ces forces d'inertie et des poids mxg, m2g, m%g, m 4 g de mi, m2, m>, mt. Le seul deplacement virtuel possible est le deplacement reel, e'est-a-dire un glissement ?>x du systeme. Le travail virtuel des forces d'inertie pour ce deplacement est manifestement

d-x d-x. d-x ^ d-x fc

— in i — — - ox — m<i — — ox — m3 ——- ox — mv — — ox. dr- dt* dt- dV-