CHAPITRE XXIII. — PRINCIPE DE D'ALEMBERT. 3 1 I
k designanl un entier positif. Nous allons voir que le systeme possede k degres de liberie.
Coordonnees du systeme. — A chaque instant £, pour conuaitre la position du systeme, il suffit de connaitre les valeurs Qumeriques de A' des 3n coordonnees, convenablement choisies : en ellet, les valeurs des Ii == 3/z — k autres coordonnees sont alors donnees par les h equations de liaison (6).
Plus generalement, pour connaitre la position du systeme a un instant il sufFit de connaitre les valeurs numeriques de k parametres qit q2, <]k, liees aux coordonnees par k relations donnees
Ifh+-\ (#1, Vi, Slj Y*, ^2; • • • • yn, Zn, t) == qu
/^-s("a?i, fu zu xi, y*, a's, Xn, Jn, zn, t) = qt, v fh+i^xx, Vi, zt, a?23 J2, z,, .... xn) ym zm t) = qk.
En eflfet, si t est donne, et si Ton donne a qi} q-2: • . . , qu des valeurs num^riques, les equations (6) et (7) formeront un systeme de h -+- k = 3n equations determinant les 3n coordonnees
Si Ton resout effectivement le systeme, on obtient, pour les 3n coordonnees, des expressions de la forme
I #v— OvC^i, ?s, • • Oj
(8) I jy— fyiiu g*> ■ •'■■> $m *)>
ou v — i, 2, ... , /z. Ces formules montrent bien qu'a chaque ins tan I t les valeurs numeriques des parametres qt, q-2, q^ determinent; la position du systeme. Les parametres q^, q>, . . ., (/{ peuvent etre appeies les coordonnees du systeme holonome.
Exemples. — La position d'un corps solide autour d'un point fixe est determine e des que l'on connait les valeurs numeriques des trois angles d'Euler 9, tp, d»; ces angles constituent les coordonnees du corps (/<• = 3).
La position d'une toupie sur un plan horizontal fixe (n° A01) esl determine quand on connait les coordonnees horizontales £, n
dg cenlre de graVite* et les Lrois angles d'Euler 0, op, dormant l'orientation de la toupie autour de son centre de gravity. Les cinq quanliles y), 0, op, ^ sont ies coordonnees de La toupie :
Degris de liberie du systeme. — Pour obtenir le deplacement le plus general du systeme, compatible avec les liaisons a l'inslant t, il suffit de donner a t la valeur numdrique corrcspondante et de faire varier les coordonnees ql} q.2, . . . . qk de quantites infiniment petites, arbilraires, hq^ , dq.2, . .., dq/,. Les formules (8) donnent alors les variations correspondanles des coordonnees, e'est-a-dire les deplacements virluels compatibles avec les liaisons
oxv =
dxv „
0xv 9
— oqi <Jqi
ou v = 1 , 2, . . . , n. Gomme dqt1 dq2, . . . , dq/{ sont arbitraires. le systeme possede k degres de liberte. Ges formules (9) sont des cas particuliers des formules generates (2) donnant le deplaccment virluel lc plus general compatible avec les liaisons. Elles sont particulieres parce que, dans le cas actuel, les seconds membrcs des expressions de d.z\n oy\n oz,, sont des diffcrentielles totales exactes de fonctions de ^71, q2, \ . . , '//,. ce qui n'a pas lieu dans le cas general.
En po riant ces expressions de o./v, drv, dz., dans l'equation generale de la Dynamique (1) et egalant a zero les coefficients de 3^i, <5<jr2, dq/{, on obtient les k equations du /nouvement
comme nous I'avons expliquc au n° 433.
Nous montrerons, dans le chapitrc suivant, comment on peut mettre ces equations sous vine forme plus commode pour les applications.
4-35. Methode des multiplicateurs de Lagrange pour un system© holonome. — Soil un systeme holonome assujetti a des liaisons exprimces par des relations (6) du numero precedent.
