CHAPITRE XXIII. — PRINCIPE DE D ALEMBERT

Pour earacteriser un emplacement virtuel compalible avec les liaisons qui ont lieu a linstant t, il faut donner a t une valeur numerique et faire subir aux coordonnees des variations dxll $y\* dZi, . . ., o\rw, oyn, dzn, telles que les fonctions /t, ...,//, resteni nulles, e'est-a-dire telle que les differentielles totales de /i,/o) • • -i fk soient nulles. On a, de cette facon, les equations de condition :

«a?i dzn II est a remarquer que le deplacement reel du systeme nc fait

pas partie des dep lace meats virtuels que nous considerons ici lorsque les liaisons dependent du temps. Par exemple, dans le mouvemenl d'un point assujetti a se deplacer sur une courbe C animee d'un mouvement donne, le seul deplacement virtuel de M, compatible avec les liaisons a l'instant est le deplacement MM' « • HV'c tu e sur la courbe G dans la position qu'elle occupe a l'instant t ; mais, a I'inslant t-\-dt, la courbe C est venue en C, et le point mobile en uu point M4 de cette courbe : le deplacement reel MMi ne coincide done pas. en general, avec le deplacement virtuel.

general, le deplacement reel du sjsteme dxi, dyi} dz-i, . . dxn<j dyn, dzn satisfait aux relations

■>Adx^<>lLjy^''lLdz^...^lL dz„ h- k dt = o ax\ f)y\ oz\ azn at

II n est done pas compris parmi le:> deplacement s virtuels considered qui doivent verifier les conditions (10), a mo ins que

tonics les expressions ^ soienl nulles, c'est-a-dire que les liaisons

soienl independantes du temps.

Les equations (io) montrent, comme nous l'avons deja dit, que, parmi les 3/i variations dsc.,, fyv, dz.,, il j en a k d'arbitraires ; les It aulres s'exprimeront lineairement en fonction des k premieres au mojen de ces equations; nous pourrions porter les valeurs ainsi obtenues dans l'equation generale de la Dynamique (i), qui devrait alors etre satisfaite quelles que soient les variations arbitraires. II serait plus simple d'employer la methode des mulliplicateurs de Lagrange, et nous aurons, par un calcul semblable a celui qui a de\ja £te fait dans le cas de l'equilibre (n° 177),

I m d°-x,, x ? ( dfx ^ [ y dfh ^ v dt'2 - * v ' 1 dxv " ' 1 dxv '

d2yv dfx dffl

(ii) j mv-^-=Yv+)>1f-+... + A/if-,

dt1 dyv dy*,

d-Zs, dfx . dfh

r^sultats obtenus en remplacant, dans les equations d'equilibre,

Xv, YVJ Zv par

v d2xv d2yv d2z,,

Nous avons ainsi trois equations pour chaque point du systeme, soit Zn relations qui, jointes aux h equations de liaisons, permettront de determiner les 3n coordonnees et les li parametres /. en fonction du temps. L'interpr^tation mecanique des A est la meme que dans le cas de l'equilibre : la force de liaison provenant de la liaison fx = o sur le point de masse mv a pour projections

)V1^L, XidA, XiM.' dxv dy\, dzv

Cette melhode n'est pratique que si le nombre des points du systeme est peu considerable; s'il en est autrement. on cherchera a ramener la resolution du probleme a l'int^gration du plus petit nombre possible d'equations, en exprimant les 3n coordonnees en fonction de t et de k parametres r/j, • • • > ^/,? comme nous venons de le faire.