II. — THEOREMES DEDUITS DU PRINCIPE DE D'ALEMBERT
136. Cas particulier du theoreme des projections des quantites de mouvement. — Nous pouvons ^crire liquation generale de la Djnamique donnee par le principe de d'Alembert sous la forme
(,J) 2j[mA lir^* -3F8^+ -&■***)
= ^ ( X V r^rv -+- Yv §rv -h Zv 8^v )j
la somme du premier membre etant 6lendue a tous les points du sjsteme et celle du second seulement aux points auxquels sont appliquees les forces donnees.
En faisanl certaines hypotheses sur les liaisons, nous pourrons (aire d'utiles remarques.
Supposons d'abord que les liaisons soient telles que le systeme puisse prendre un mouvement de translation parallelement a Ox\ dans ce d^plaeement, on aura
oxK = oxo = . . . = oxn,
OJ, — 0Z{ = OJK2 = OSo = • • • = 07'/) = ozn — o,
el liquation (12) deviendra
Equation qui exprime le theoreme suivant :
Si les liaisons permettent a cliaque instant un deplacement dJ ensemble parr allele a an axe fixe, la derivee par rapport au temps de la somme des projections des quantites de mouvement sur ret axe est egale a la somme des projections des forces donnees sur le meme axe.
Ce theoreme est un cas particulier du ihcoreme des quantites <lc mouvement pro ie tees. La derivee par rapport au temps de la somme des projections des quantites de mouvement sur un axe
est toujours cgale a la somme des projections des forces exterieures sur lc memo axe. Seulement, en general, les projections de ces forces exterieures comprennent a la fois des forces donnees et des forces de liaison. Le th6oreme actuel s'applique a une categoric de problemes, dans lesquels les projections des forces exterieures sur I'axe considere ne comprennent pas de forces de liaison.
Par exemple, si Ton oherche le mouvement d'une bane pesante dont les extremites glissent sur deux surfaces fixes S et S', le theoreme general s'applique a la projection du mouvement* sur un axe quelconque Ox; mais, dans les projections des forces exterieures, il faut compter les projections des reactions des deux surfaces S et S'; le theoreme actuel ne s'applique pas si S et S' sont prises au hasard.
II ne s'appliquerait que si les surfaces S et S' etaient des cylindres paralleJes a Ox, car alors les liaisons permettraient un deplacement d'ensemble de la barre paralleleinent a Ox; dans ce cas, les projections des reactions normales sur Ox sont nulles.
On reconnait, en general, que le systeme admet une translation parallele a Ox, lorsque les equations de liaisons ne conliennent les abscisses que par leurs differences.
437. Cas particulier du theoreme des moments. — Admettons maintenant que les liaisons permettent une rotation d'ensemble du systeme autour de l'axe des z ; si Ton designe par oO cette rotation elementaire, on sail qu'on a
ox,, = — jKvo6, 8yv=;zvo0, o:-v = o ; l'equation generale (12) devient alors
V m (x til y — - - V m (x ^ - r
c'est-a-dire :
Si les liaisons permettent d chaque instant un mouvement de rotation du systeme autour d ^ un axe fixe, la derivee de la somme des moments par rapport a cet axe est egale a la somme des moments des forces donnees par rapport au meme
axe.
