CHAP1TRE XXIII. — PRINCIPE DE D ALEMBERT

Nous remarquerons encore ici que ce theoreme est un cas parliculier du theoreme des moments des quantites de mouvemenl, en ce que ce sont les forces donnees seules qui figurent dans Tenoned, au lieu des forces ext^rieures.

438. Cas particulier du theoreme des forces vives. — Supposons enfin que les liaisons soient independantes du temps.

Alors, parmi les deplacements compatibles avec les liaisons, se trouve le (Replacement reel dxv, dy^i dz,n et Ton peut, dans l'equation (12), remplacer, en particulier, o.rv, 6y.n 8sv, par dxvy dy\n dzv.

On a ainsi

d 2 ~r = 2 ( Xv dXv + Yv dyv + Zv dZv)-

Done :

Si les liaisons sont independantes du temps, la differentielle de la demi- force vive du systeme est egale a la somme des travaux elementaires des forces donnees.

C'est un cas particulier du theoreme des forces vives (n° 336).

Nous pouvons verifier ce theoreme en partant des equations du mouvement obtenues par la methode des multiplicateurs de Lagrange [equations (11), n" 435].

Faisons, sur ces equations, la combinaison des forces vives; nous aurons eu ordonnant par rapport aux X,

+ ''-'1 (t^+ It-'''- 'ji-.,dz-)

et les coefficients des a sont nuls quand les equations J\ — o, f = o, . . ., //,= o ne contienne pas t. Si f\ contenait t, le coefficient de Xj ne serait

pas Qui, inais egal a — -~ dt.

III. — APPLICATION DU PRINCIPE DE D ALEMBRERT AU CAS DU FROTTEMENT DE GLISSEMENT.

439. Methode et exemple. Imaginons un systeme assujetti a deux

sortes de liaisons :

i° l)es liaisons L sans froltement dependant ou non du temps;

2° Des liaisons V consistant en ce que certains points m,. m2, ... mp sont assujettis a glisser avec froltement sur des surfaces fixes donnees Si, Ssj • • • j S^,.

La reaction totale Ki de la surface St sur le point ni\ est la resultante d'une force normale de grandeur N( et d'une force tangentielle (frottement) egale a /iNi et dirigee en sens contraire de la vitesse du point. J\ etant le coefficient de frottement sur S4. On a de nieme les

reactions totales R2, . • , H/y des autres surfaces S2, . . S;, sur les autres points m2, . . . , mp.

D'apres le principe de d'Alembert, il y a equilibre a chaque instant entre les forces d'inertie, les forces donnees, les forces de liaison prove-

nant des liaisons L sans frottement et les forces de liaison Hi, Rp provenant des liaisons L'.

Si done on imprime au systeme un deplacement virtuel quelconque, la somme des travaux de toutes les forces y compris les forces de liaison, est nulle. Mais si Ton imprime, en particulier, un deplacement virtuel qui soit compatible avec les liaisons L sans frottement, et dans lequel chaque point mi, m>, . . ., mp soit assujetti a se de'placer nor male me nt a la re'ac- >• >• >

tion totale Ri5 H>, H/; correspondante, la somme des travaux des

forces de liaison L et des forces Ri, R2, R^ est nulle d'elle-merne ; la

somme des travaux des forces donnees et des forces d'inertie est done

nulle aussi. On obtiendra done les equations du mouvement en ecrivant

que, pour tous les deplacements virtuels qui sont compatibles avec les

liaisons L et dans lesquels chaque point mi, nu mp se deplace nor-

malement a la reaction totale Rv correspondante, la somme des travaux

des forces donnees et des forces d'inertie est nulle. (Appell, Comptes

rendus, t. GXIV, 1892, p. 33i.)

Exemple. — Reprenons a ce point de vue le probleme III du n° 371 (Jig. 214). Dans ce probleme, les points A et B glissent avec frottement sur

Ox et Or. La reaction totale R de TaxeO^ en A est bissectrice de

Tangle NAN; la reaction totale R' de Taxe Or en B est bissectrice de l'angle N'BN'.

Pour obtenir un deplacement virtuel de l'echelle dans lequel les travaux