CHAPITRE XXIII. — PRINCIPE DE D'ALEMBERT. 3l
de R et H' sont nuls, on lui imprimera un deplacement virtuel dans lequel
A et B se de'placent normalement aux reactions H et IV. D'apres la propriete du centre instantane de rotation, cela revient a faire tourner l'echelle d'un angle infiniment petit outour du point d'intersection I des
reactions R et R'. Les droites suivant lesquelles sont dirigces les reactions R et R ayant pour equations
x — 2 1 sin a y = o, x — y -+- 2 1 cos a = o, le point I a pour coordonne'es
(1) a?t=Z(sina — cos a), = /( sin a -+- cosa).
11 faudra alors exprimer que, dans le deplacement virtuel obtenu en faisant tourner, d'un angle infiniment petit, la droite AB autour de I, la somme des travaux du poids et des forces d'inertie est nulle; ou encore que la somme des moments du poids et des forces d'inertie par rapport au point I est nulle. Ce qui donne, en appelant m la masse totale de Techelle et ;jl la masse du point de l'echelle de coordonnees x et y,
l—Xi)mg ^y^^x — x,)^ —(y—yL)£ji J =0,
In somme etant etendue a tous les points. Si Ton remarque que les
quantum 2,^' 2i >* ~dF el Z'V ~^ ~3' ~dF ) S°nt ''eS1>eCt"
vcment eirales a m -7—") m— - — et — m(k2-h I2)—, — 5 et si Ion remplace
at2 at2 v dt2
Xi, r, par leurs valeurs, on trouve, apres reduction, l'equation (5) du 11" 371 (Ex. III).
EXERCICES
I. I n corps sulide tourne autour d'un axe Os avec une vitessc angulaire variable w. Calculer a un instant t la resultante generale et le moment resultant <les forces d'inertie par rapport au point 0.
Keponse. — D'apres les calculs du n° 360, on a, pour les projections de la n'-sultante generate des forces d'inertie,
> m —jp; — u! > ma; ■+■ w 7 my
dl- jLd —
Y, = w5^ my — u)' V m a7) 7M - 0
3^o DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
el, pour les projections du moment resultant,
Mt = w* V mxz -+- '»> rnyz, N, = — MX:2<»', to' designant la derivee de a> par rapport a /.
2. Conditions pour que les forces d'inertie d'un corps solidc tournant autour ' d'un axe fixe aicnt une resultante unique.
Reponse — II faut que le centre de gravite ne soit pas sur I'axe pour ([tie XJ -h soit different de zero, et que
LjX.-hM^+N.Z^ o,
c'est-a-dire
( w4 -h w'2 ) ^ rn ^-'^^ rnyz — my N //* ,z-z j = o.
Le premier facteur n'etant pas nul, le second doit l'etre. Ce second facteur, egale a zero, exprime que l'axe de rotation est principal povr un de ses points.
3. Conditions pour que les forces d'inertie des points d'un solide tournant autour d'un axe fixe se reduisent d un couple.
Reponse. — II faut et il suffit que X, — o, Y, ==6; d'oii ^^mx = o, ^ my = o. Le centre de gravite doit etre sur l'axe.
4. Deduire du principe de d'Alembert les equations du inouvement d'un fil.
Soient ds l'element d'arc d'un fil, u. sa densite lineaire, x, y, z ses coordonnees. L'arc s etant compte a partir de l'extremile du fil, par exemple, les coordonnees de l'element ds dans le inouvement sont des fonctions des variables independantes s et t.
Les equations d'equilibre sont
X, V, Z designant les projections de la force exterieure rapportee a l'unite de longueur. La force d'inertie de l'element ds de masse a ds a pour projections
la force d'inertie rapportee a l'unite de longueur est done
