I. — SYSTflMES HOLONOMES : EQUATIONS DE LAGRANGE
441 . Reduction des equations du mouvement au nombre minimum dans un systeme sans frottement. — Imaginons comme prec^demment un systeme de n points assujettis a des liaisons telles que la position du systeme, au point de vue geometrique, depende de k parametres geom^triquement independants qtj q->, . . . , q/-. On pourra alors exprimer les coordonnees de chaque point du systeme en fonction de ces parametres; dans le cas general oii les fonctions contiennent le temps, les expressions des coordonnees des differents points en fonction de q.\, q2, ••• qk contiendront t :
( ^v= ?v('9i, q*, qk, t), (0 \ 7y= tyviqu q^ ■ • *),
I zv=mv(qi} q*, . . .. qk, t).
Quand les liaisons sont exprim^es par des equations telles que les equations (6) du n° 434, ces expressions des coordonnees sont, par hypothese, de telle nature qu'en les portant dans les equations de liaisons, ces equations soient identiquement salisfaites quels que soienl qu q.,, . . . , qk, t.
On obtiendra alors le deplacement virtuel le plus general du systeme, compatible avec les liaisons a Tinstant £, en donnant a qtl
1 1 •> qk des accroissements infiniment petits arbitraires Bql,
oy2 1 • • • , vqk, ce qui donne
oa?v = - — oq{ -h — o q« -4- ... -4- — or/A-,
dq\ dq-L Jqk
et deux formules analogues pour <3yv et dz,,. Portanl ces valeurs dans ^equation generale de la Dynamique (n° 4-31 ), on obtient une Equation de la forme
(2) (P,-Qi)8?,-h(P2— Q2)8?S— ... -4- (Pit— Qft)'9*S3**i en posant, pour abr^ger,
a— 2a mv\ de- dq^ + eft2 ^ ■' rf*2 '
V V$ra V£>?a <)qa)
Liquation (2) devantavoir lieu, quels que soient oqK , 8q2l • • • > o^/f, puisqu'elle a lieu pour tous les deplacernents virtuels compatibles avec les liaisons, se decompose en k Equations
(3) Pi-Q^o, P2-Q2=o, ... P*- Q*= o.
Les expressions des quantit^s Pa se transforrnent, comme nous l'avons fait dans le cas d'un point materiel (n° 282).
Nous pouvons ecrire, en supprimant les indices v pour simplilier l'^criture,
p d ^ / dx dx dy dy ^ dz dz \ dt l\dtdqa dt~dq^ ' dt dqa J
^ dx ^ dy ^ dz \
dx dqa dy dqa dz dqa J ~dt dt h ~di dt h di dt J '
Si nous d^signons par x\ y'y z' les derives ^5 ^> l'expression de Pa devient
d , dx , dy , dz
Pa = -f 2 m \ x h r -~ h 3 - —
dt \ dq^ ^ dqa dqa
\ dt J dt dt
D^signons de meme par q\, q't1 . . ., qk les deriv^es de qlt q%, . . ., qk considerces comme fonctions du temps; en diffe>entiant les equaitons (1), nous aurons
dx . dx , dx , dx , dx
oq\ oqt dqa. <)qk dt
En considerant x' comrne fonclion des q, des q' et de I, on voit imm^diatement que
dx' dx dq'a ~ dq^
on aura de meme
dy' dy dz dz
')f]'0L ~ rh/0L Wot, «tya'
l'expression Pa devient alors
D d l , dx' I a — — 1 m I x -— -4- v
dt \ dq'a
dx dy j- dz
\ dt J dt dt
Pour transformer la seeonde parenthese, nous remarquerons que l'on a
dq<z dlx , d-x, d2x , d2 x
dt dqa dq^ % 1 dq^ dq2 ^ 2 " ' ' + dqa dq\ ^k + dq^ dt '
puisque ~- est fonction des variables qi} . . q/(. t; on verifie
immediatement que cette expression est identique a la de>ivee de i par rapport a q& :
dx
dqa dx
dt dq%
et Ton aurait semblablement
dqa dy dqa dz
dt dqa ' dt dqa
11 nous vient alors
dt \ dqa ' dqa dqaJ
/ , dx , dy' , dz' \
Soil alors T la demi-force vive totale du systeme
T = -Sm(.^+ v'2-f- c'2).
En considerant T comme fonction de qu q2, .... q,,, q'x1 '. . . , <jk t, on voit que les somines qui entrent dans l'expression de 9y son!
dT OT .
respectivement ^-7 et — ; on a done
* dt\dq'J <)q0;
de sorte que les equations du mouvement sont
d I dT \ dT * , . .
Ge sont la les equations de Lagrange.
La fonction T est du second degre par rapport a q\ , q'2, . . . , q'h : par consequent, les equations precedentes sont du second ordre; elle donneronl gr4, q2, . . . q/; en fonction du temps et de cik constantes arbitraires. Nous remarquerons que, dans le cas ou les liaisons sont independantes du temps, on peut faire en sorte que les expressions cp, ^, sr. obtenues pour les coordonnees, ne contiennent pas explicitement t ; alorsla fonction T est homogene et du second degr£ par rapport a q\, q'%, ... q'k; e'est d'ailleurs une. quantite essentiellement positive d'apres sa definition me me : T est done alors une forme quadratique definie positive de ?i> • • q'k-
En general, pour calculer les Qa, on n'a qu'a former l'expression de la somme des travaux virtuels des forces donnees pour le deplacement le plus general compatible avec les liaisons a l'instant t; cette somme est, comme nous venons de le voir, Qi + . • . + Q/fiq/i- Si Ton veut un Qa determine, il suffit de considerer le deplacement virtuel obtenu en laissant t et tous les q constants, excepte qa qu'on fait varier de %qa< la somme des travaux des forces donnees est alors Qa dqa.
Les quantites Qa prennent une forme remarquable quand il y a une fonction de forces pour les forces donnees; cette fonction U(xi} Ki, z.i, . • 3>ni Vni zn) pourra sexprimer en fonction de <7i, q2, ... r//o t, et Ton aura alors
dV / dU dxv dU dy\ dil <tev \
dqa ~ Zl \dxs dqa ^ dyv dqa dzv dqx) '
par hypothese, les quantity Xv, Yv, Zv sont egales a ^y-i J~ On a done
dqa -Zl [X \jqa ^ dq* ' ^dqj ~ ^' et les equations de Lagrange prennent la forme
d /<rr \ ' jt du
dt \dq'a/ dqa ~~ f)q<x'
Gette menie forme subsiste quand Xv, Yv, Zv sont les derivees partielles par rapport a xv, yv, zv d'une fonction U(xi,yi , , . . . , Xn, ynt %n, t) contenant explicitement le temps. C'est ce qu'on voit par le meme calcul.
Remarque. — Les calculs que nous avons faits pour trouver l'expression de Pa au moyen de la fonction T ne supposent pas que les parametres q soient independants ; ils subsistent lorsqu'on introduit de nouvelles liaisons exprimees par les relations
g\{qu <iu • • • > qk, 0 = o,
gziqi, q>, . . ., qkl t) = o,
gu.(qu q*-, qk, t) = o,
Lhypothese de l'independance des parametres n'a ete, en effet, introduite que pour deduire de l'equation (2) les formules
Qi- Pi= o, Q2— P2 = o, Qa~Pa=o3
Le nombre u des nouvelles conditions doit etre evidemment inferieur a k. Les variations des parametres sont alors liees par les relations
dg\ dgi dg* .
— — 07, -h - — oq-> -+-... -h -f— oqk = O,
dqi r)q« 7 Oq k
dqi dq, 1 dqk
montrent qu'il y a k — ;jl d'arbitraires ; pour exprimer alors que I equal ion
(Pi — Ql)87i-f-. . .-h ( Pyfe — Qa) Zqk = 0 est satisfaite quelles que soient ces k — ;j. arbitraires, nous emploierons la
mi-thode des multiplicateurs indctermines, qui nous donnera les equations du mouvement sous la forme
ou en remplacant Pa par sa valeur,
— ( — — — = Oa -h X, h- ... -f- a, * -pi ( a = 1 , 2,. . . , £ ).
Ges A: equations, jointes aux ;jl equations de liaison, permettront de determiner en fonction du temps les k -h u inconnues
ft, ^> • i qk, Xj, X.,, . . ., x^.
i -42. Premier exemple. — Problbme. — Trouver le mouvement d'un systeme constitue par deux barres homogenes pesantes identiques AB, A'B' reliees par des fils sans masse et de meme longueur, la droite AB etant assujettie a tourner autour de son milieu O, et tout le systeme a rester dans un plan vertical fixe.
Ge probleme a ete traite n° 366, exemple V. En employant les notations deja employees, on a
l\ y a ici une fonction des forces donnees
U = = Mglcosb,
en designant par \ la hauteur du centre de gravite O' de la barre A'B'. En elfet. la somme des travaux des forces donnees se reduit au travail M^8g du poids de A'B'.
Les equations de Lagrange relatives aux parametres 9 et 0 sont alors
^(2M/f2?>o, Jl(m/*0') = — M^/sinO.
Ge sont les equations trouvees directement.
443. Equations d'Euler. — Les equations de Lagrange permettent de trouver rapidement les equations d'Euler pour le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe.
Avec les notations precedemment employees (n° 383), on voit que la position du systeme depend des trois parametres independants 6, 0, 9, et la demi-force vive du systeme T a pour expression
oil />, (j, r ont, en fonction de ty, 0, 9, les valeurs
p — <y sin 0 sin 9 -+- 0' cos 9, q = <y sin 0 cos 9 — 0' sin 9, r = 9' h <!/ cos 0.
Quant a 1'expression de la somme des travaux des forces donnees
2 ( \ v 8a?v ■+- Yv o vv + Zv o*v ),
elle prend la forme
Ecrivons lequation de Lagrange relative a la variable 9 :
d^/dl dt Mais
o>T c>T dp dT dq dp dq
do dp do dq do do do
Or, d'apres les valeurs de p et q, on a
dp , . , . dq
J- =s <li cos 9 sin 6 — 9 sin cp == q , ~- = —
On a done '
dT
do M
et notre equation devient
C^+(B- \)pq = <b.
II reste a voir que (P est la somme N des moments des forces donnees par rapport a Oz; <I> 09 est, en effet, la somme des travaux virtuels des forces donnees dans un deplacement clementaire obtenu en laissant ^ et 0 constants, e'est-a-dire dans un mouvement de rotation S9 autour de Oz. Or, nous avons vu que, si un corps tourne d'un angle 09 autour de O:, on a, pour la somme des travaux des forces donnees (n° 181) :
<I>09 = S(XySa?v-H Yvo>'v-+- Zv&sv) = S(#VYV— .rvXv) 09,
d'ou
$ = S(tfvYv->vXv) = N.
Nous avons ainsi une des equations d'Euler
