II. — APPLICATIONS DES EQUATIONS DE LAGRANGE

145. Integrates des forces vives. — Quand les liaisons sont independantes du temps el realisees sans frottement, le theoreine des forces vives s'exprime par I'equation

dT = £ ( X Hx -+- Y dy -+- Z dz ),

ou no tigurent que les travaux elcmentaires des forces donnees. En particulier, si ces forces derivent d'une fonction de forces U, on a l'integrale des forces vives T = U 4- h. Ces theoremes sont aises a relrouver en partant des equations de Lagrange.

Quand les liaisons sont independantes du temps, on peut toujours choisir les parametres . . . , de facon que les x, y, z s'expriment en fonction de ces parametres sans que t figure explicitement. Dans ces conditions, on a

, Ox , dx j

dx — — dqi -h . . . -+- -3 — dqk , . • • , 1 dqx 1 dqk

S( X dx -+- Y dy + Z^)= Qidqn -h Q, dq*+. . Q* dqk. L'equation des forces vives s'ecrit done

^ T = Q4 9'4 H- Q2 -+-. . .-h Qk q'k .

Gette egalite, consequence du principe de d'Alembert, doit etre une consequence des equations de Lagrange. On le verifie aisemcnl de la maniere suivante : dans le cas qui nous occupe, T est 1111 polynome homogene et du second degre par rapport aux q' . Or, calculons, d'apres les equations de Lagrange, la quantite Q4 q\ 4-. . . -h Q/. q'k. ( )n trouve

\n , , d dT , d dT , dT , dT

Qlg>+...+ Qkqk=qi-— + ... + qk-—-q1

d I , dT , dT \ „ dT „ dT , dT , dT

En vertu du theoreme d'Euler sur Jes functions homogenes,