OT , OT , OT
est egal a2T; d'autre part, T ne contenant pas t explicitement
dT OT „ OT „ OT , OT ,
D'apres cela,
, * d(2T) dT dT
ce qui est l'equation des forces vives.
Gette equation fournit une intcgrale premiere toules les fois que Q, dq{ 4- . • . 4- Q/f dq/{ est la differentielle totale exacte d'une fonction U de qK, </2, . . . , q/{. On a alors
dT = dV, T == U -f- h.
Ge fait se pr^sente, comnie nous l'avons vu, quand les forces donn^es ddrivent d'une fonction de forces
U(#i, yu Zi~, ...,Xn,Yn, Zn).
L'integrale des forces vives etant une consequence des equations de Lagrange, on simplifiera leur integration en remplacant Tune d'elles. la plus compliqu6e par l'integrale des forces vive>.
Ge calcul suppose essentiellement que les liaisons sont ind£pendantes du temps, sinon le travail des reactions intervient dans la variation de la force vive, car on ne peut plus supposer alors que y, z sont exprim^s en fonction de qiy q2, qk par des formules ne contenant pas t.
446. Probleme. — Sur un plan horizontal glissent sans frottement deux droites homogenes pesantes identiques AB, AB', articulees a leur extremite- commune A; on demande le mouvement de ce systeme. {Licence).
La position de l'ensemble des deux barres depend de quatre parametres ; nous la definirons : i° par les coordonnees £, q du centre de gravite G qui se trouve an milieu de la droite GC qui joint les centres des deux barres; 2° par Tangle 6 que fait la droite GA avec Paxe des x\ 3° par le demiangle a des deux barres. On s'assure facilement que ces quatre parametres
suffisent pour definir entitlement le systeme : ayant place le centre de gravite G, on tracera la droite GA connue par Tangle 0, on y portera GA = /cosa, la longueur d'une des droiies etant il. Faisant alors en A, de part et d'autre de AG, un angle a, on aura les positions des deux barres.
Cherchons d'abord Texpression de la force vive totale. Elle se compose de la force vive de la masse 2M concentree au centre de gravite
M etant la masse de Tune des barres, et de la force vive dans le mouvement du systeme autour du centre de gravite. Pour avoir la force vive de Tune des barres, AB par exemple, dans le mouvement par rapport aux
Fig. 261.
axes ociy'i, paralleles a xy et passant par G, nous nous servirons du
meme theoreme que ci-dessus; cette force vive est egale a celle de la
™ ■ . c ,r \ / dry- J d§y- 1 masse M placee en u, M I ^ 1 -1- r2 1 — 1 > soit
M(/-a'2 cos2 a -+- /20'2 sin2 a),
puisque l'on a GG = r = /sina, a?iGG=9-h— ? augmentee de la force
vive de AB dans la rotation autour de C. Or cette derniere force vive a
pour expression Mk-^^^J = M k-( 0'— a')2, en remarquant que Pangle w
de la barre avec Cx^ est 0 — a.
On calculera la force vive de AB' dans son mouvement autour de G en cliangeant le signe de a, et en ajoutant Ton trouvera pour la demi-force vive totale
T = M [ c'2 + n'2 -+- ( P cos2 a -j- k> ) a'2 ■+■ ( P- sin2 a 4- £2 ) 6 '2 J. D;u)s |e cas actuel, les seules forces donnees sont les poids des barres
dont les travaux sont nuls; la fonction des forces est done U = o, et les seconds membres des equations de Lagrange sont nuls. Si nous ecrivons
Tequation relative a (f, nous aurons -3- — o, d'ou \' = £'0. L'equation relative a 7) donnera de meme t]' =■ tj'0; le mouvement du centre de gravite est done rectiligne et uniforme, ce que donnait immediatement le theoreme du mouvement du centre de gravite. L'equation en 0
1it\dv) M ~ 1%
se reduit a ^ (^') = °' Cai * 61 ^ ne cont'ennent I)as s'integre
immediatement et donne = const., ou (Jv
(I) (/* sin2aH-#2)B'.== C.
Nous pourrions de meme ecrire l'equation en a, mais el 1 c serait trop compliquee; nous la remplacerons par I'integrale des forces vives. qui se reduit ici a T = const., c/est-a-dire
( II ) (# cos2 a -t- A:2 ) a'2 -+- ( p sin2 a -+- A2 ) 8'2 = A2,
puisque £' et t,' sont des constantes. Nous avons pu egaler a une constante essentiellement positive, puisque le premier membre est une somme de deux carres. L1equation (I) montre que 6' a un signe invariable : la ligne GA tourne toujours dans le meme sens autour de G, la vitesse angu-
laire de ce mouvement etant d'ailleurs necessairement comprise entre j-
el
j-- En substituant la valeur precedente de 0' dans l'equation (II
il nous vient
a'2 ( V- cos - a -+- k- ) ( ll sin2 a -+- k- ) == A2 11 sin2 a -+- A2 X:2 — G2 ;
le premier membre etant toujours positif, il doit toujours en etre de meme du second.
Si C2 — A- k'2 est negatif, a peut manifestement prendre telle valeur que Ton voudra, et les barres s1ecartent ou se rapprochent suivant que a' est positif ou negatif jusqu'au moment ou un choc se produit (a = oouoc = -). Si G2 — k-k- est positif, on pourra le poser egal a A2 1- sin2 (3, ou (Bdesigne une constante reelle ; en effet, C2 — K-k- est toujours inferieur a A2/2, puisque, a' etant reel a i'instant initial ou a = a0, on a A2 1- sin2a0 > G2 — A2 A2. La condition a laquelle doit satisfaire a se reduit done a
sin2 a > sin- 8,
de sorte que a varie entre [3 et - — (3; le mouvement de chaque tige. par rapport a GA, est alors oscillatoire.
Si Ton avait enfin C- — A2A2= o, a pourrait prendre toutes les valeurs, mais, a tendant vers x ou vers zero, t croitrait indefiniment; les deux droites tendraient a se superposer sans jamais s'atteindre.
447. Corps pesant de revolution glissant sans frottement sur un plan horizontal. — En employant les notations du n° 407, on a, pour la force vive 2T,
2T = M(E"2-f- V2) + [M/'2(6) -+- A] 6'2-h A <!>''- sin* 6 G(o'h- !|/ cos 0)2,
et, pour la fonction des forces,
Les cinq parametres dont depend la position du corps sont ij, rh 0, 9, <k On obtiendra les equations du mouvement en ecrivant d'abord les quatre equations de Lagrange relatives aux quatre parametres £, q, 0, <j>. Gomme ni T ni U ne contiennent ces parametres, les equations de Lagrange correspondantes sont
/dT\ d ( dT \ d / dT\ d / dT \
D'ou Ton conclut immediatement quatre integrales premieres en egalant
f)T r)T dT j . . ' . , *
-^,1 ~~\ — ; ' t-jj TT7 a des constantes. On a ainsi les integrales (Jt) o<v
£' = 5o 3 V = ri 0 > ?' ■+■ <K cos 0 = ro, Ad/ sin 2 0 h- C(cp'-f- 1!/ cos 6) cos G = K.
II resterait alors a ecrire la derniere equation de Lagrange, celle qui est relative a 0; mais on peut la remplacer par l'integrale des forces vives T = U + h.
On obtient, de cette facon, les equations etablies directement dans le n° 407.
448. Integrale de Painleve analogue a celle des forces vives dans certains cas ou les liaisons dependent du temps. — On peut former une integrale analogue a l'integrale des forces vives dans certains cas ou les liaisons dependent du temps. Dans cette hypo these, les expressions de z en qi} q2, qu con-
tiennent t : la demi-force vive T n'est plus homogene en q\, //,...., q'k ; nous pouvons l'exrire T = T2+ Ti -+- T0, T, designant l'ensemblc des termes du second degre en q\ , q'2, q'k1 I 1 les termes du premier degre par rapport a ces quanlites, et T0
le terme independant de ces quantites. On a encore par un calcul analogue an precedent (n" 445).
Mais, d'une part,
d'apres le theoreme des fonctions homogenes, et, d'autre part, dT „ dT <)T dT
dt~ q**&~*~ q*w*~*~
car T depend de t directement et par l'intermediaire des qx, q'a. On a done, apres reduction,
~ (T2— To) = Qi jrV -+-...-+- Qk q'k - ~ •
Si la quanti te Q< q\ -j- . . . + QA — — est egale a V(^ , . . . ,qk, t), on a enfin
G'est ce qui a lieu, par exemple, si ^ depend seulement de t7
et si Qidq{ + ...-f-Q*<fy* est une differentielle totale exacte dU(qi, . . . , qk) d'une fonction ne contenant pas t. L'integrale s'ecrirait, dans ce cas,
etant suppose egal a F'(£). {Voir Painleye, Lecons sur
V integration des equations de la Mecanique, p. 89; Hermann. i895).
III. — PETIT MOUVEMENT D'UN SYSTfiME HOLONOME AUTOUR D'UNE POSITION D'flQUILIBRE STABLE.
449. Stability de Pequilibre. — Lorsque les liaisons d'un svsteme holonome sont independantes du temps et que les forces donnees derivent d'une fonction de forces U, on sait (n° 173) que les conditions necessaires et suffisantes d?equilibre sont
dqx ~ ' dq2 ~~ ' dqk ~~
qi, q?, qk designant les A- parametres independanls qui defi-
nissenl la position du systeme. Ges egalites sont les conditions necessaires mais non suffisantes, pour que U presente un maximum ou un minimum. Si, dans une position du systeme, U est maximum, c'est une position d'equilibre stable. Ce theoreme, dcja enonce par Lagrange, a ele demontre par Lejeune-Dirichlet de la facon suivante {Journal de Liouville).
Nous pouvons toujours supposer que les valeurs des parametres qui correspondent a la position d'equilibre sont qK = o, q2 — o, . . . , q/i= o, et que U est nul pour ces valeurs, car U n'est defini qu'a une coustante pres. L'equilibre est stable quand, en ecartant Ires peu Ie systeme de la position d'equilibre d'une maniere arbitraire, et donnant aux differents points des vitesses initiates tres petitcs, on obtient un mouvement dans lequel le systeme s'ecarte tres peu de celle position d'equilibre. D'une facon precise, soit £ un nombre positif donne a l'avance, aussi petit qu'on veut; on peut trouver un nombre positif rj assez petit pour que, les valeurs initiates des parametres qK , q2, . qk et des vitesses des divers points etant inferieurs a r\ en valeur absolue, les valeurs de qiy q<±, . .., qk restent, dans toute la duree du mouvement. inferieures a £ en valeur absolue.
Gette definition etant rappelee, admettons que U soit nul et maximum pour les valeurs qi=o,q=i=o, ...,^=o; il faut montrer que l'equilibre est stable. Gomme U est maximum, on peut trouver un nombre positif £ assez petit pour que, pour tous les systemes de valeurs de q{ , q2, . .'. , qk compris entre — £ et + £ ou egaux a ces limites, la fonction U soit negative, excepte" pour la seule combinaison q± = q2 = . . . = qk ■= o qui la rend nulle. Donnons, en particulier, a une des variables qv les valeurs limites
E3 puis donnons aux autres, qi} . . . , </v i, q^+\ , , qk, tous les
systemes possibles de valeurs compris entre dt £ ou 6gaux a ces limites; soit — ■ Pv la plus grande valeur de U pour ces valeurs des parametres; Pv est un nombre positif non nul, car, q,, etant egal a +i, (J ne peut pas s'annuler, quelles que soient les valeurs donates aux autres parametres dans les limites indiquees. llexiste ainsi /, nombres posilifs P4, P3, P/, oblenus en faisant successivemenl q{, y.>, .... q/- egaux a. -4- e. Appelons P le plus petit dVntre eux; on aura necessairement
U^— P, U-fPzo,
appi:i.i.. — Jraite de Mecanique. n. Tl
des que Tun des para metres deviendra e^gal a±£, les autres reslanl compris enlre zh £ ou £gaux a ces limites.
Ceci pose, ^cartons Ie syslcme de sa position d'equilibre, en donnant aux parametres des valeurs q\, q\, . . . , q\ comprises entre z!z £, puis imprimons aux differents points des vitesses initiales pj, (^2, . En appliquant au mouvement qui prend
naissance le th^oreme des forces vives, nous avons
Comine U0 est negatif, la quantity — U0 est positive;
elle peut d'ailleurs etre rendue aussi petite qu'on le veut, car elle est continue et s'annule quand toutes les vitesses initiales et toutes les valeurs initiales des parametres sontnulles. D'unefacon precise, on peut determiner un nombre r\ inferieur a £ et assez petit pour que,, les valeurs q\, q\, q\ et pj. .... c° etant plus petites que y) en valeur absolue, on ait
Alors liquation des forces vives donne
Les parametres q\ , q2, .... q^ partant des valeurs comprises entre zb:£, aucun des parametres ne peut atleindre ces limites pendant le mouvement, car, des que l'un d'entre eux les atteindrait, U + P deviendrait negatif, et la force vive l*mv- egalement, ce qui est impossible.
Limites des vitesses. — On peut aussi assigner des limites sup£rieures des vitesses pendant toute la duree du mouvement. En effet, U etant negatif, puisque les parametres restent compris entre ± s> on a \
SWF2< 2 P.
Si done on appelle p,- la vitesse du point de masse mt, on a
WfPf<2P, Vt<
Celte limite est tres petite en meme temps que s, car, £ tendani vers z6ro, P tend vers zero.
On obtiendra des limites plus resserrees pour les vitesses, en remarquant que Imp- est une forme quadra tique positive 2T de q[,q't, • ' - > 9k • ceUe forme 2T devant rester moindre que 2P, il en r^sulte que q'2, . . . , q'k restent, en valeurs absolues, inferieurs a une certaine limite qu'on pourra determiner dans chaque cas particulier.
Remarque I. — ■ La demonstration suppose essentiellement que U depende de tous les parametres qi: qo, . . qk\ si U dependait s6ulement de quelques-uns d'entre eux, qx, q-2, q?, par exemple, et etait maximum et uul pour qx = q-2 = q:) = o, la position correspondant a q{ — o, q2— o, q^= o, q^= a^, q/.— cik, «i, a5, . .., a* etant des constanles quel-
conques, serait une position d'equilibre, mais elle ne serait pas stable. En ecartant le systeme tres peu de cette position, et donnant aux points des vitesses ties petites, on aurait un mouvement dans lequel qx, q<>, qz resteraient tres voisins de zero, mais les autres parametres g\, q$, . . ., q/t, ne resteraient pas voisins de a4, a5, a^. D'ailleurs, les vitesses restent
tres petites. Imaginons, par exemple, un corps pesant de revolution, suspendu par un point de son axe, et prenons les notations du n° 395. Actuellement, il y a une fonction de forces qu'on peut ecrire
U = — M^cosB,
qui ne depend que de 6, tandis que la position du corps depend des trois angles d'Euler 0, 0, ty. La fonction U est maximum pour 8 = tz; les positions correspondantes du corps, en nombre infini, sont des positions d'equilibre d'ailleurs evidentes a priori, l'axe etant vertical et le centre de gravite au-dessous du point de suspension. Mais ces conditions ne sont pas stables dans le sens strict du mot, car, en imprimant au corps une rotation initiale, si petite soit-elle, autour de la verticale, on obticnt un mouvement dans lequel les points s'eloignent de quantites finies de leurs positions d'equilibre.
Remarque II. — Reciproque du the or erne de Lejeune-Dirichlet. — Considerons une position d'equilibre du systeme dans laquelle les derivees d{] dU rJU n ■ .
- — > - — 5 • • • •> sont toutes nulles, sans que U soit maximum. Jl est
Oqi dqt 0qk 1
probable que la position correspondante est instable.
Mais cette proposition n'a pu etre demontree rigoureusement que sous
certaines restrictions. (Voyez Liapounoff, Journal de Mathematiques
de Jourdan, 1890; IIadamakd, Memoire presente a 1'Academie en 1896,
publie dans le meme Iiecueil en 1897; Painleve, Comptes rendus, t. CXXV,
p. t02i.; IIamel, Mathematische Anna/en, t. LVH, p. 54i; L. Silla,
Rendiconti dellaR. Accarfemia dei Lincei, r>'' serie, t. XVJI, 1908, p. 347-) — D'autres auteurs comme Fejkr (Crelle, t. I3i ) et Kethy (Ibid,, t. 133) ont etudie la stabilite dans un milieu resistant.
&50. Petits mouvements. — Imaginons, comme plus haul, un systeme a liaisons independantes du temps dont la position depend de k parametres geometriques ^r4, q2, • • • > qk\ supposons que les forces appliquees derivent d'une fonction de forces U(<jr,, q>2, • . (jfk) dependant de toutes les variables qv et que cette fonction soit maximum et nulle quand toutes les variables qy s'annulent (v = i, 2, . . ., k). La position d'equilibre correspondante est stable; nous nous proposons d'etudier les petits mouvements du systeme autour de cette position. Dans ces petits mouvements qt, gr25 • (Jk restent tres petits, les vitesses restent aussi tres petites; done les derivees q\, q'2, . . ., q'k restent tres petites, car la force vive est une fonction homogene et du second degre essentiellement positive des derivees q'v. Nous commencerons par le cas le plus simple ou le systeme est a liaisons completes.
i° Systeme a liaisons completes. — La position du systeme depend alors d'un parametre q qui est suppose /iw/dans la position d'equilibre; le nombre k = i. La demi-force vive T etant une fonction homogene et du second degre de q' est de la forme
ou Ton suppose la fonction f(q) developpable par la formule de Maclaurin. Supposons le premier terme du developpement f (o) different de ze>o : alors ce premier terme f(o) est necessairement positif, car, q etant tres petit, T a le signe de /(o) et une force vive est essentiellement positive. Nous ^crirons, en posant f(o) = a,
T = aq'z+Ti,
T1 etant tres petit par rapport au premier terme, car T4 contient qq'- en facteur.
Prenons maintenant la fonction des forces U : e'est par hypothese une fonction de q nulle et maximum pour q — o. Si done on pose \J = F(q), et si Ton developpe F(q) par la formule de
Maclaurin, on voit que F(o) el F'(o) sont nuls, F"(o) etant, en general, n6gatif. En posant - F"(o) = — x, a >■ o, on pourra
ecrire
U4 etant la somme des termes suivants dans le developpement de Maclaurin; U4 est done Ires petit par rapport au lerme — <*q2, car il conlient q* en facteur.
On admettra qu'on peut, pour etudier les petites oscillations, ne'gliger T4 et Ui et prendre
T = aq\ V=~aqK L'equation du mouvement, d'apres Lagrange,
dt\dq' ) dq ~ dq devient alors, puisque ^ est nul,
(i) aq" = —aq, = — r2?,
en posant = r2. L'integrale de cette equation est
q = a cos(r£ + p),
/. et p designant deux constantes arbitraires qu'on determine, connaissant la position iuitiale, e'est-a-dire q0 et la vitesse initiale,
e'est-a-dire q'0. La duree d'une oscillation du sysleme est^; la
constante r avant une signification physique est evidemment independante du choix du parametre q.
Les valeurs initiales de q et q' pour t — o etant aK et biy on a
q = ci\ cos rt H sin rt.
Si, dans une deuxieme experience, les valeurs initiales de q 81 7 sont a2 et 62, on a de meme pour le mouvement
q =s cos ri h -sin /V.
En fin si, dans une troisieme experience, les valeurs initiales
de q et q' sont a, -h a2 et />, + />2, I'expression correspondante dc 7 est
^ = («! -+- «2) cos/*£ H ■ Sin r/.
c'est-a-dire la somme des deux pr£cedentes : ce fait, qui tient a ce que 1'equation du mouvement est lin^aire, constitue ce qu on appelle la superposition des petits mouvements.
Exemple. — En deux points fixes A et A'situes sur l axe horizontal Ox a des distances egales OA = OA'= a de Torigine O, sont attaches deux fils sans masse AM, A'M' de meme longueur / supportant une barre homogene pesante MM' de longueur ki egale a A A'. Gette barre est percee en
Fig. 262.
son milieu Gd'une ouverture inliniment petite dans laquelle passe l'axe 0* suppose vertical et dirige vers le haut. Le systeme etant e'carte tres peu de sa position d'equilibre MiM', est abandonne a lui-meme sans vitesse initiate : etudions les petites oscillations.
Appelons, a un instant quelconque, 0 Tangle du fil AM avec 0 z\ et a Tangle que fait avec Ox la projection PP' de la barre MM' sur le plan x O r ; le triangle isoscele AOP et le triangle rectangle AMP donnent la relation
I sin 8 = ia sih - •
La position du systeme depend du seul parametre 0 qui s'annule dans la position d'equilibre. La seule force donnee etant le poids, on a, en appelant £ Tordonnee UG = — /cos8, du centre de gravite G,
U = M£-/(cos6 — 1),
ou la constante est determinee de facon que U soit nul pour 6 = o; U est
inanifestement maximum pour cette valeur. Developpant U par la formule de Maclaurin, on a
U =— Hffl- -+- Ul3
ou Ui est, par rapport a 0, d'un ordre superieur au deuxieme. Galculons T d'apres le theoreme de Kcenig
T= iM(C'2H- iM^*8'-*sih*«i + |«2«'2V
car le moment d'inertie MA2 d'une barre homogene de longueur 2 a, par rapport a son centre, est ^Ma2. Or, la relation geometrique ci-dessus Sonne
d'ou l'on tire a' par derivation et
T = -M /2sin2 6
2 \ 3 4«2 — I'1 sin-
L'equation finie du mouvement serait done T = Li -+- A d'apres le theoreme des forces vives. Mais, pour les oscillations infiniment petites, nous devons reduire le coefficient de 0'2 dans T ace qu'il devient pour 0 = o, et prendre approximativement
T = rM/2 0'2 u = — - MgW-.
Inequation du mouvement, d'apres l'equation de Lagrange, est alors
La duree des petites oscillations est —
Remarque . — Dans la theorie precedente, nous avons suppose que, T etant de la forme q'- f(q),f{o) etait different de zero. Si cette condition n'est pas realisee, on peut la realiser par un changement de variable. Supposons, en effet, qu'on ait pour de petites valeurs de q .
9 (o; etant different de zero. On fera alors la substitution
s designanf une nouvelle variable, et Ton aura
T = q'2qn*(q) = : J*7^2)*''2,
on le coefficient de s'2 n'est plus nul pour s = o.
Nous avons suppose egalement que, le coefficient de q'- dans T <:tani different de zero pour q = o, le de\ eloppement de U(q) par la formule de Maclaurin commence par un terme en q-. Mais il peut arriver que, U(q) etant maximum pour q = o, les derivees de U jusqu'a un ordre impair quelconque superieur a i s'annulent, la premiere derivee qui ne s'annule pas etant d'ordre pair et negative. Par exemple. pour prendre le cas le plus simple, on peut avoir
Ui contenant q6 en facteur et a etant positif. Alors, en reduisant T a la forme aq'*- et negligeant Ui, on a, pour l'equation du mouvement,
(2) aq" = — 2a^.
On est alors en presence d'une circonstance speciale qui ne tient pas au choix de la variable : la duree des petites oscillations autour de la position d'e'quilibre varie avec leur amplitude. En effet, en placant le systeme de la position correspondant a q0, et Fabandonnant sans vitesse, on a, en integrant (2),
d'ou Ton tire t en fonction de q par une quadrature elliptique; q oscille de — qo a-h<7o; le quart d'une oscillation a pour duree
/a r70 dq z=±{/a ds
en faisant q — sq0. Gette duree est done en raison inverse de q0 et devient infiniment grande quand q0 tend vers zero.
20 Systeme a deux degres de liberte. — Imaginons un systeme a liaisons ind^pendanles du temps dont la position depend de deux parametres qK et q.2 ; on a
ou A, B, G sont des fonctions de qt et q2-
Nous supposerons les parametres choisis de telle facon que le discriminant AC — B2 ne soit par nul pour qx — q2=z o. Alors, en deVeloppant les coefficients A, B, C par la formule de Mac-
laurin, en appelant a, b. c les valeurs de ces coefficients pour (fv -z=. ^2~o, on aura
T = aq'i1 -+- 2 bq\ q'2-t- cq'i1 -h Ti ,
T, etant du troisieme ordre par rapport a qi, gr3, q\, q'.,, et s'annulant quand qi et q2 sont nuls. Quand qK et q2 sont Ires petits, T a done le signe du trinorne forme par les termes qui precedent Ti, et comme T est essentiellement positif, quels que soient q\ el q'2. on a
a > o, c > o, b- — ac < o.
Prenons niaintenant la fonction de forces U(^i, q->) : cette fonction etant nulle et maximum pour q{z=:q2=zo. on a en general, en d^veloppant par la formule de Maclaurin,
U = — (« grfn- '2^qLq2-h tql) -*- U4,
ou Ui est du troisieme ordre en qK et <y2. Comme U doit etre negatif pour des valeurs arbitraires suffisamment petites de q± et q.2 ,on a en general
a > o, T > °> p2— ay<o.
Pour obtenir les petits mouvements autour de la position d'equilibre, nous n^gligerons T4 et U4 en prenant
T — aq'f -h lbq\ q'.2 H- cq'.f ,
Les deux equations de Lagrange deviennent alors
( a(/'i + %: = -(a?1+p?!) I bq\ -+- cq"2 =-(^i+|?2),
equations lineaires a coefficients constants. Pour les integrer, nous ferons
(4) fli== Xicos(r£ -hp), q > — A2cos(r/ -+■ p),
Xa, r, p designnnt des constantes. En substituant et divisant par cos (rt -f-p), on a
( 5 ) X , (ar! — a) -h Xj (6r2 — fr) = 0, X 1 ( br- — [3) h- X2!(crs — y) = o,
d'ou, en eliminant Xj el X2,
(6) (ar«-— a)(cr9-— y) (br>-— ,3)2 = o,
Equation bicarr^e qui donne pour r2 deux valeurs reelles et positives. En effet, en substituant dans le premier membre, a la place de r2, les valeurs o et -h oo, on obtient des resultats positifs, tandis
que les valeurs ^ et ^ donnent des resultats negatif>. On peut
toujours supposer r positif, car la solution (4) ne change pas quand on change r et p de signes : nous pourrons alors prendre pour r les deux racines positives n et r2 de liquation (6).
Si Ton substitue a /• l'une de ces racines dans les equations (5), elles se reduissent a une, a la premiere par exemple; on a alors, en faisant r — r4,
A, A, T — 5 z = — Hi,
/i-i d^signant une constante arbitraire. On a ainsi la solution
q{ = u, ( br\ — (3)cos(>i f + p,), £2 = Hi(<* — cos(/*i f -4- pi).
La seconde racine r2 donne une solution analogue, avec d'autres constantes /jl2 et p2, et les integrates generates des equations du mouvement sont enfin
\ q±=z [i±(brl — (3)cos(rt£ -4- pi) -h jA*(&ri — cOs(r2f -h Ps), y j gr2 = ^(a — arf)co$(ri£-h pi) -+- fx8(a — «rl ) cos(r2^ -h ps),
avec quatre constantes arbitraires .ut, , p.2, p4 et p2, qu'on determinera connaissant les valeurs initiates de q2 et de leurs deri-
vees q\ et gr2.
On voit que le mouvement, dans le voisinage de la position d'equilibre, est le mouvement resultant de deux oscillations dont
les periodes respectives sont ^ et^« Si ces periodes sont com-
mensurables entre elles, il existera une periode pour le mouvement, sinon le systeme ne passera a aucune £poque par la meme configuration. On a de\ja vu un exemple de ce fait n° 272.
Les quantites r4 et r2, ayant ainsi une signification physique, sont evidemment independantes du choix des parametres qi et q^. Ge sont des invariants du probleme.
Cas particulier. — Quand nous avons demontre que liquation (6) en ;*2 a deux racines positives, nous avons admis qu'en
substituant ~ et £ dans le premier membre, on avait au moins un
resultat negatif : ceci n'arriverait pas si Ton avait
oii A-2 est une constante positive. L'equation (6) serait alors
elle aurait ses racines egales : neanmoins, les integrales generales ne conliennent pas le temps en dehors des signes sin et cos; en eflet, les equations du mouvement (3) s'^crivent alors
a(q"1-+- k-qy ) -+- b { q\ k- q ■>) — o, b ( q i -+- k- qi ) -h c ( q\ Hh k- q.2 ) = 0,
et, comme b2 — ac est positif, elles donnent
q'[ -b k- qi == o, q\ -h k- q2 == o
d'ou, pour les integrales generales,
q^ = [jlj cos( kt -h pi ). ^2 == ;x2 cos(#£ -+- p2 ).
II n'v a plus alors qu'une pe>iode pour chaqne oscillation,
Autre methode. — Ces resultats peuvent etre obtenus autrement si I'on fait usage des proprietes des formes quadratiques. Considerons les deux formes quadratiques
S = aq \ -+- 2&<7i q2 ■+■ cql, U = — (aql -h 2 [i qt q-2 -+- Y gi ),
I I'aide desquelles on pent ecrire les equations du mouvement sous la forme
~dV1\f)q\) ~ dqS dr-\dqo) ~~ Oq*' Paisons un changement de variables Iineaires a coefficients constants q , = k] S] -h h% So, q» = k*S\ -f- lus1} oil si et So sont de nouveaux parametres ki} h\, A2, et /<2 des constantes.
On peut determiner les coefficients de la substitution de facon a reduire simultanement les deux formes a des sommes de carres; cela revient, en regardant qx et qi comme des coordonnees cartesiennes, a prendre pour axes les droites conjuguees a la fois par rapport aux couples de droites
S = o, U = o. On a ainsi
S = s?-+-si, U =s — (rf s\ H- rf*f);
la demi-force vive devient T = s\2 -t- s'22, et les equations du mouvement deviennent
s] ==— r\su t\ = — rf*2,
d'ou, en integrant,
Sj = fJLi cos (rj t -+- pi ), s-2 = a2 cos ( /••> t -h p2 ),
On peut remarquer que l'equation bicarree en r- s'obtient en egalant a zero le discriminant de la forme U + r2S.
Les variables S\ et s2 s'appellent les variables principales.
Application. — Imaginons une barre homogene pesante AB de longueur ia suspendue par un 01, de longueur attache au point fixe 0; le systeme est assujetti a se deplacer dans un plan vertical xOy\ on demande d'etudier ses oscillations infinimcnt petites autour de la verticale qui est sa position d'equilibre.
La position du systeme depend des deux angles 0 et © que fait la verticale Ox avec les directions du fil et de la barre, parametres qui sont bien nuls dans la position d'equilibre. II y a ici une fonction de forces
q etant l'abscisse du centre de gravite G. 11 nous faut, pour etre dans les conditions de la theorie qui precede, disposer de G de facon que U s'annule dans la position d'equilibre; les coordonnees du centre de gravite ayant pour expressions
|- — /cosO -4- a cos 9, v\ = / sin 0 H- a sin c,
la fonction des forces sera
U = M^[/(cos6 — i)-ha(cos? — i)].
Galculons maitenant la demi-force vive T; la force vive de la masse M concentree en G est
M(p+ -q'2) = M.{pb'*-+- a* <?'*-{- 2 a/6Vcos(6 — 9)]. La force vive dans la rotation autour du centre de gravite etant ^M-9 -
d'apres la valeur du moment d'inertie d'une barre homogene par rapport a son centre, la demi-fo.rce vive totale sera
/2 6'2 h- JaScp's-t- 2 tf/eV cos(0 — 9)
Pour trouver les oscillations infiniment petites, il suffit de considerer dans U et T les termes du second ordre
Fig. 263.
Les equations de Lagrange sont alors
/26"4- alo"
alW — — s a ~.
On integrera ces equations en posant
0 = \i cos(/7 p), o = A2cos(r£ -f- p), et /,) devant satisfaire aux conditions
( lr- — -+- ar- A2 = o, lr- a , -+- ar- — g^J X2 = o
Tequation en r~ est done
air''
equation du second degre en r- qui donneru deux racines reelles et positi \ es r\ et r§, pour chacune desquelles on aura un systeme de solutions particulieres. En ajoutant ces solutions, on aura les integrales generales
0 = ar] ijl t cos(/~i t -hp, ) -1- ar\ ;x2 cos( r»t -+- pa),
r = i.S — lr\ )iJLi cos( t -4- pi ) -H ( g — lr \ ) u.2 cos( r ,f -+- p2),
ivec Jes quatre const antes tu.|, ;j.2, pl3 p5
Par exemple, si I'on suppose a = - I, on trouve comme valeurs de et rl
—j- ( 2 -+- ), -j- ( 2 — \/3), ce qui donne immediatement les durees res-
pectives — 5 -— des deux oscillations qui composent le petit mouvernent.
Remarque. — Nous ax ons, dans la theorie precedente, suppose ac — 6diflerent de zero. Si ce discriminant est nul, il faudrait fair e un autre choix de parametres de telle maniere que la nouvelle expression approchee de T ait un discriminant different de zero. Par exemple si Ton prend un point mobile dans un plan ayant comme position d'equilibre stable I'origine, on a, en coordonnees polaires r et 6,
expression dont le discriminant r- sannule dans la position d'equilibre. En prenant les coordonnees cartesiennes. on aura la nouvelle expression
dont le discriminant n'est pas nul.
Nous avons suppose aussi que le developpement de la fonction des forces U commencait par les termes du second ordre en qx et q<>', il pourrait arriver, puisque U = o est un maximum, que ce developpement commence par des termes d'un ordre pair quelconque, par exemple du quatrieme ordre,
U = — (xq\ -f- $q\q>> + . . .-h bq\ ) Ui.
Dans ce cas, 1'etude des petites oscillations devient plus compliquee : les equations obtennes en negligeant Ut ne sont plus lineaires
L'ocillation ge'nerale n'est plus la resultante de deux oscillations speciales ayant chacune une duree determinee.
3° Cas general. — Imaginons un systeme assujetti a des liaisons inddpendantes du temps, les forces qui agissent sur ce systeme de>ivant d'une fonction de forces U. Nous le supposerons dans une position d'equilibre stable 011 la fonction U est maximum. Soient q{ , q2, . . . , qu les parametres qui definissent la position du systeme; nous admettrons qu'ils sont nuls ainsi que U dans la position d'equilibre. L'^quilibre £tant stable, lorsqu'on dt^placera le systeme et qu'on l'abandonnera a lui-meme, les parametres q et leurs d6rivees resteront tres petites pendant toute la duree du
mouvement; nous considererons ql, q2, . . ., qk et leurs de>ivees comrne de petites quantity du premier ordre. La demi-force vive tolale est une fonction quadrati([ue homogene des q' :
Ghacun des coefficients A/y est une fonction des q qui prend la valeur a ,7 lorsque les parametres q s'annulent; on peut done ecrire
r = Zaijqtqj^- Ti, . , ai/=<*/t,
la fonction Ti etant une somme de petites quantites d'ordre superieur a 2.
Nous savons, d'autre part, que la valeur o est un maximum de U; nous pouvons done ecrire
U =— Sbijqiqj-h Uu
U< etant d'ordre superieur a 2. Nous remarquerons que, les termes d'ordre moindre donnant leur signe aux expressions de T et de U, les sommes qui constituent les termes du second ordre doivent rester constamment positives pour T et pour U, car nous metlons dans U le signe en evidence.
Notre approximation consiste a negliger les termes en Ui et TV Les equations de Lagrange
dt \dq'w ) dej,, ~ dqv
sont ici
Ov 1 q \ H- av2 y 2 -+-... -f- avk q"k = — ( &vi £i + • • • + &vA ?/t) (v =.1, 2, k).
Les A- Equations di(Fe>entielles simultan^es que nous obtenons sont Iin^aires du premier ordre et a coefficients constants; nous pouvons done les integrer en posant
(8) qx = a, cos(r( -+- p), ^-^A^cos^ -f- p).
Pour que cos valeurs satisfassent aux equations de Lagrange, il faut qu'on ait
XtC^ii— r-ciu) -+- A2(6|2— r-av,) -+- . . . ■+■ X*(&i*r- r-a^k) = o,
m(6aj — r*aki ) ■+■ ^i(bk-> — r-ciki) -h. . .4- X*(6^ — r-cikk) = o.
Pour quo tons les >. ne soient pas nuls, il faut que le d^termi nant de ces equations lineaires et homogenes soit nul :
by\ — r-aX\ bti—r-c/ii ... bxk- T*Q>%k bk\ — ra ctki bko — r°- ak2 . . . bkk — r2 akk
Getto egalite, consideree comme une Equation en r2, donne en general k valeurs de cette inconnue, et, pour r, 2 k valeurs deux a deux egales et de signes contraires; mais on peut toujours supposer r positif, car la solution (8) ne change pas quand r et p changent de signes. En adoptant une de ces k valeurs de r, rv, par exemple, on peut d6terminer tous les X en fonction d'une arbitraire p.v, et Ton obtient le sysleme de solutions (1) qui contient, outre /jlv? la quanlite arbitraire pv. On a ainsi k systemes de solutions particulieres des equations diffcrentielles et leur somme donne la solution generate qui contient, comme il doit etre, 2 k constantes arbitraires.
L'oscillalion generale est ainsi le mouvement resultant de k
oscillations partielles ayant respectivement les periodes ---1 ^5 ' ' '* ~« Les racines n, ra, . . sont des invariants :
leurs valeurs sont independantes du choix des parametres.
Les Equations etant lineaires, si Ton en a deux systemes de solutions particulieres qv~fv(^t) et <jrvrrr <pv(£), les fonctions qv = fv(t)-\-(Dv(t) en sont encore des solutions. On a ainsi ce qu'on appelle la superposition de petits mouvements.
Sans invoquer la theorie des formes quadratriques on peut demontrer que les racines de liquation en /'sont reelles. En eflfet, si cette equation admettait une racine imaginaire a-\-ib, elle adinettrait la racine conjuguee a — ib : les valeurs correspondantes des constantes >.v seraient aussi imaginaires conjuguees. On trouverait alors, pour les parametres un systeme de solutions reelles particulieres de la forme
qv = ( Av H- i'Bv) cos (a -+- ib)t -+- ( Av— ?BV) cos(« — ib)t, ou, sous forme reelle
qv— \,,(ef'1 ■+■ e~bt) cos at ■+- Bv(e6/— e~bt) sin at.
