CHAPITRE XXIV
On aurait ainsi un mouvement du systeme dans lequel les variables gv et leurs derivees commenceraient par etre aussi petites qu'on le voudrait, pour tinir par etre infiniment grandes avec t, ce qui est en contradiction avec ce fait que l'equilibre est stable.
On voit, par un raisonnement analogue, que, si l'equation en r a des racines multiples, le temps ne peut pas figurer en dehors des sinus et cosinus, car les expressions de la forme
\xt cos(/Y -Hp)
deviendraient infiniment grandes avec t.
La tlieorie des formes quadratiques conduit aux rnemes resultats; si l'on pose
S = S atjqt qj, U = — 2 btj q t q /,
ces deux formes quadratiques sont l'une S essentiellement positive, 1'autre U essentiellement negative pour toutes les valeurs des variables et ne peuvent devenir nulles que si toutes les variables s'annulent. Les equations des petits mouvements peuvent s'ecrire
dt* [dqj ~ dqj
et l'equation (9) donnant r- s'obtient en egalant a zero le discriminant de U -4- r-S. On peut toujours, par un changement lineaire de variables substituant de nouvelles variables siy s», . . . , s^ aux anciennes qi, q->, . . . , q^ ramener les deux formes quadratiques S et U a etre des sommes de carres
S = s\ •+- si -4-. . . h- s|, U — — ( r'j si + rr, s'l + . . . -h rf s% ). La demi-force vive est alors
Les equations des petits mou\ements deviennent
d'- ( dS\ dV dt- \ dsy / dsv '
e'est-a-dire
— . = — r- sv, Sy, = fxv cos (rv« + pv ).
On a ainsi immediatement sous forme finie les equations des petits mouvements, avec ik constantes arbitraires ;j.v et pv. Les variables st, s2, s& qu'il faut choisir pour ramener T, S et U a des sommes de carres comme 1 i-dessus se nomment les variables principales.
appell. — Trait c de Micanique. 11. 23
Nous citerons, en terminant, trois Notes de M. Beth, parues dans les Comptes rendus de V Academie royale des Sciences d' Amsterdam (io,ioet 191 1), et un article de M. Horn, Journal de Crelle, t. ]'M, p. 224.
Remarque. — Nous avons suppose que le determinant des atft discriminant de la forme S, n'est pas nul. S'il l'etait, il faudrait faire choix d'un autre systeme de parametres. Nous avons suppose aussi que le developpement de U, suivant les puissances de qi, qiy . . ., qk, commence par des termes du deuxieme ordre. Si ce developpement commencait par des termes d'ordre superieur, du quatrieme ou du sixieme, les equations des petits mouvements ne seraient plus lineaires.
454. Petits mouvements troubles par une force perturbatrice periodique. — Considerons un systeme tel que celui dont nous venons d'etudier les petits mouvements autour d'une position d'equilibre stable correspondant a
q\ = qi = • • • =a qk = o.
Supposons qu'aux forces constitutives du systeme derivant de la fonction de forces U, qui est maximum et nulle dans l'equilibre, viennent s'ajouter pendant le mouvement des forces perturbatrices tres petites, fonctions du temps et generalement aussi de q^, q«, qk et de leurs
derivees
Appelons X, Y, Z celle des forces qui agit sur le point du systeme de coordonnees x, y, z \ alors, d'apras la theorie generale des equations de Lagrange, si Ton pose
\ dqv dqv Oq.J les equations du mouvement seront
d / dT \ dT 0\j .
^ iWrs;^^ (v=I,2f }-
Nous supposerons T et U reduits aux memes formes quadratiques que ci-dcssus.
Les forces perturbatrices etant independantes de celles qui determinent l'equilibre ne s'annuleront pas en general dans la position d'equilibre, et, par consequent, le terme Rv developpe suivant les puissances de qit q*, qk et de leurs derivees contiendra un terme independant de ces variables par rapport auquel les termes suivants pourront etre consideres comme de petites quantites negligeables. Les Rv sont alors des fonctions du temps seul; nous les supposerons periodiques.
Les equations du mouvement (10), au lieu d'etre lineaires sans second membre comme precedemment, auront maintenant comme seconds
membres les fonctions periodiques Rv. Ces fonctions peu\ent etre developpees en une somme de sinus et de cosinus
Rv= 2 A v cos (a* h- a) -+- 2 Bv cos (6* -+- 3) —-. . .-h 2 Lv cos (ft h-X),
Av, Bv, . . ., a, b, . .., a5 [3, . . . designant des constantes. Nous dirons que chaque terme de Kv represente une force perturbatrice simple, le premier
une force perturbatrice de periode — j le deuxieme une force de periode ) r.
Supposons, pour simplifier, que l'on ait choisi pour qly q-2, qic des variables principales; alors comme nous venons de le voir, les valeurs approchees de T et de U sont
Les equations du mouvement trouble sont alors
q'.'j ■+■ rlq., = Avcos(<z2 + a) + Bvcos(6* -+- p) -+-. . .-h Lvcos(/£ -t- a)
> etc
Les integrales generales de ces equations prennent une forme analytique difterente suivant qu'une des quantites a, b, . . ., / est egale ou non a rv.
Supposons d'abord qu'aucune des quantites a, 6, / ne soit egale a une des racines /•], r2, . . ., r/c : les integrales generales des equations (11) sont
Av
q,t = <xv cos ( t\ t -+■ pv ) -+- — 5 cos (at -\- a)
■ oBv cbs(6*4-B) „Lv ^cos(ft-t-X)
011 j.., et pv designent des constantes arbitraires. Done, dans ce cas, la force perturbatrice simple, donnant naisssance a un terme tel que
2 Avcos (at + a)
dans Rv, introduit dans le systeme une oscillation simple
— ; cos( at i a )
tr* — a2
dont la periode est celle de la force et dont 1'amplitude est independante des conditions initiates qui n'induent (jue sur ;j.v et pv. Si a est voisin de rv,'
est-a-dire si la periode — de la force perturbatrice simple est voisine de la periode ^ d\ine oscillation naturelle du systeme livre a lui-meme
le coefficient , '' — devient un grand nombre, et Famplitude de J'oscil-
rv2 — a1
lation introduite par cette force perturbatrice devient considerable. Cette remarque fait pressentir ce qui ce passe quand une des quantites a, b, . . ., / est egale a une des racines rv.
Supposons, par exemple, que a soit egal a r{, mais different de r2, ^3, . • r/c, aucune des quantites b, . . . , I n'etant egale a une des racines n, r-2, n> Alors, les integrates generates des equations (n) pour
r = 2, 3, . . . , k conserveront la forme (12) trouvee precedemment ; mais la premiere equation-
— jpr + rf qi = Aj cos(at + a) + ... + Lj cos( It -+- X),
ou a — aura pour integrate
qx = ^ cos(>i £ -+- .pi') -+- -^y sm(ri £ -+- a)
cos(bt + + » ^' /■> cos(/l -4- X).
rf—b*
Le temps £ apparait done en facteur dans le terme de l'integrale prove-
nant de la force perturbatrice dont la periode ~ est egale a la periode —
d'une des oscillations naturelles du systeme. Ainsi, lorsque la periode d'une des forces perturb atrices tend vers celle de Vune des oscillations simples propres au systeme , V amplitude de la perturbation devient de plus en plus grande : a la limite, la perturbation se confond avec V oscillation simple correspontante dont V amplitude^ proportionnelle a t, augmente indefiniment, ou du moins sort des limites dans lesquelles les equations lineaires sont suffisamment approchees.
Ce theoreme donne Lexplication d'un grand nombre de phenomenes, tels que la mise en vibration d'une corde sonore quand Fair vibre a l'unisson et non autrement, l'absorption elective des rayons de lumiere et de chaleur par un milieu capable d'engendrer des rayons de raeme longueur d'onde, etc.
Une autre application importante se rencontre dans les perturbations du mouvement des locomotives. La masse de la machine portee par des ressorts forme un systeme assujetti a des oscillations de duree determinee x.. Les forces perturbatrices produites par l'inertie des pieces mobiles, pistons, bielles, manivelles, donnent des sommes de projections ou de moments qui ont pour periode principale la duree d'un tour de roue. Les perturbations correspondantes doivent done passer par un maximum d'amplitude lorsque la vitesse de la locomotive est telle qu'il se fait un tour de roue pendant la duree x d'une oscillation. (Vicaire, Comptes rendus, t. CXII, p. 82.)
