IV. - OSCILLATIONS AUTOUR D UN MOUVEMENT STABLE
452. Methode generate. — Les equations de Lagrange permettent detudier egalement les pelites oscillations d'un systeme autour d'un mouvement stable. En suivant une methode semblable a celle que nous avons employee pour l'Etude des petits mouvements autour d'une position d'equilibre stable, on est encore conduit a int^grer des equations lineaires, mais ces Equations ne sont plus a coefficients constants.
Soit un systeme dans lequel les liaisons peuvent dependre du temps et dont la position est definie par k parametres gr4, q2, • • . , (Jk geometriquement ind^pendants. Les equations du mouvement sont
d I OT \ dT . ■
Supposons qu'on ait trouve" une solution particuliere de ces equations
?i=/i(0, =■/•(*), ■•>* qk=fk{t),
dans laquelle les constantes d'integration ont des valeurs dEterminees. On a alors le mouvement particulier que prend Ie systeme quand, a l'instant t = o, qK, q2, q/{ prennent les valeurs
/<(<>). /2(o), ...,//,(o), et les derivees q\, q'2, . ..,|#*, les valeurs /J(o), /o(o), . . /^(o).^On dit que ce mouvement est Stable, quand, en placant le systeme dans des conditions initiales quelconques infiniment voisines des precedentes, le systeme prend un mouvement infiniment voisin du mouvement particulier considcre. On peut reconnaitre si le mouvement consider est stable, el en mrme temps trouver les mouvements infiniment voisins par la methode suivante. Rcmplacons les parametres qt . g2, <//, par de nouveaux parametres s4, s-2, • ■ . - S/( definis par les relations
71 =/i(0 su qi=fz(t) ■+■ *2, qk = fk(t)-^sk;
les equations du mouvement, d'apres Lagrange, deviendront d t dT \ <)T
I el Sv etanl des fonctions de s{, s>>, ... Sk et s\ . v .
Si,
Avec ce nouveau choix de paramctres, le mouvement particulier donl on veut etudier la stability est
Si = o, .?2 = o, .... 5/t = o;
on l'obtient en supposanl qu'au lemps t == o, les parametres sv el Ieurs derivees s'v ont des valeurs nulles. II s'agit de voir si, en donnant a ces paramelres el a leurs derivees des valeurs initiates injiniment petites quelconques, on obtient un mouvement infiniment voisin, c'est-a-dire un mouvement dans lequel les quantities .Si, s2- • • • , Sk et 5j, ,s'2, . . . , s'k restent infiniment petiles.
Supposant qu'il en soil ainsi et admettanl que T, S< , S2, . . . , S/soient deVeloppables suivant les puissances positives croissanles de st , s2, . • • , Sk et s\ , s'2, . . . , s'k, on ne conservera, dans les deux membres des equations, que les termes du premier ordre par rapport a ces quantites et a s'[, s"2, .... s"k. Gomme les equations ainsi oblenues sont verifiees, par hypothese, pour
St ss So = — == s/c = o.
elles sont lineaires et homogenes par rapport aux inconnues sv et a leurs derivees premieres et secondes.
4j3. Exemple. — Considerons un point de masse i attire par un centre fixe 0, proportionnellement & Ja puissance n'lismc de la distance,
F = — jxrn, a > o.
Les equations du mouvement sont en appelant r et 6 les coordonnees polaires et appliquant les equations de Lagrange,
(2) r"re'2 = -nr*} Jl(r2f)') = o.
Elles admettent la solution particuliere
dans laquelle la trajectoire est un cercle de centre O, parcouru avec une vitesse constante. Voyons si ce mouvement particulier est stable. Pour cela posons
(4) r=r0-f-e} 6 s/^rf^t -f- tj,
et voyons si, en supposant e, r, et leurs derivees e', r{ tres petits au debut, s et tj resteront tres petits. Dans cette hypothese, regardons s, r) et leurs
derivees comme de petites quantites du premier ordre, et negligeons leurs carres et leurs produits; nous avons, en portant les valeurs (4) dans les equations du mouvement (2), et designant par to la quantite constante
(5) s" — to- e — 2r0Mri' = — nb)2e, r0 t/'-h 2 cos' = o ;
le second membre de la premiere equation est le terme en e dans le developpement de a (/'0+ e)". La deuxieme de ces equations s'integre et donne
( 6 ) r0 r,' ■+- 2to? = ci to,
ou a designe une constante arbitraire tres petite, puisque £ et \x sont tres petits pour t = o. Eliminant t\ entre (5) et (6), il vient
£*-+- (n -+- 3 ) to2 c = 2 a to 2 ,
equation lineaire a coefficients constants. Si (n-\-3) etait negatif ou nul, l'integrale generale de cette equation contiendrait des exponentielles ou des termes alge'briques croissant indefiniment avec t, et le mouvement circulate considere ne serait pas stable. Supposons done (/i-f-3) positif; on a alors
1 = b cos (to t \ln -+- 3 -b a ) 4-
011 6 et a sont des constantes arbitraires dont la premiere est ties petite. Done e reste tres petit et, par suite, r — r0-h £ reste voisin de r0. Prenons maintenant l'equation (6) : en y remplacant s par la valeur que nous venons de trouver et integrant, on a
/ n lb . / 1 \ n — 1
r0 r. — . sin ( oj I J/i + i + a H a to t -+- c,
c etant une constante ties petite. On voit que ;j. contient un terme en t \ done a augmente indefiniment avec t, et, par suite, le mouvement circulate n'est pas stable. 11 y a exception pour n = 1, car alors le terme en t tli>parait. Si n est different de 1, pour que r\ reste tres petit, il faudrait choisir les conditions initiales de telle facon que a soit nul; cette condition signifie que, dans le mouvement trouble, la constante des aires doit etre egale a tor2, comme dans le mouvement circulaire. En eflet, si nous fieri vons l'integrale des aires, pour le mouvement trouble,
( r0 -+- £ )- ( to -+- T)') = C,
cette integrale, dans laquelle on neglige e2 et £^', donne
C — tor2,
equation identique a (6). Pour que a soit nul, il faut done C = ^r\. En resume, sauf Ie cas n = I, le mouvement circulaire n'est pas stable; il le devient quand, ( n -+- 3 ) etant positif, on modifie ti es peu les conditions initiales de facon que la constante des aires reste la merne.
Le cadre de cet Ouvrage ne nous permet pas d'insister davantage sur cette question des mouvements stables; nous renverrons, pour une f-tude approfondie a la Mecanique de Routh (advanced Part, Chap. 111).
