V. - APPLICATION DES EQUATIONS DE LAGRANGE AU MOUVEMENT RELATIF
454. Premiere methode independante de la theorie du mouvement relatif. — Pour trouver le mouvement relatif d'un systeme par rapport a des axes Oxyz animus d'un mouvement connu, il suffit d'appliquer les equations de Lagrange au mouvement absolu, en choisissant comme parametres les variables qlt q2 . . . , q/{ qui definissent la position du systeme par rapport aux axes mobiles : ces memes parametres definissent evidemment la position du systeme par rapport a des axes fixes ()oX0y0z0, car les axes Oxyz ont un mouvement connu.
La deini-force vive absolue Ta du systeme sera une fonction de qv, q2) • . ., qk, q\, q'«i • • •> 4k et peut-etre de t; d'autre part, si Ton imprime au systeme un d^placement virtuel compatible avec les liaisons qui ont lieu a l'instant deplacernent obtenu en laissant t constant et donnant a qi7 q2: . . . , qk des accroissements infiniment petits arbitraires, dqi7 oq2, . . . , oq^, la somme des travaux des forces appliquees, autres que les forces de liaison, a pour expression Q< -f- Q2 dq2 -f- . . ,-f- Q/, oq/;. Les equations du mouvement sont alors
dtKmhw^ (V = I'2' "* ■
Si les forces donn^es derivent d'une fonction de forces U, la quantite est egale a — ••
Pour calculer T«, il n'est pas necessaire de former les expressions des coordonnees absolues en fonction de qi, q2, qk et t. La vitesse abso-
lue vn de m est la resultante de sa vitesse relative vr par rapport aux axes
Oxyz et de sa vitesse d'entrainement ve dans le mouvement de ces axe>.
La vitesse vr a pour projections sur Oxyz, x', y', zf, en appelant x, y, z les coordonnees de in et designant par des accents les derivees par rap-
port a t ; quant a la v itesse d'entrainement c'est la vitesse que possederait Ie point m s'il etait lie aux axes mobiles; elle est done la resultante
d'une vitesse due a une translation V° egale et parallele a la vitesse du
point 0 et d'une vitesse due a une rotation to autour d'un axe passant
par O; en appelant V£, V£, V? les projections de V° sur les axes mobiles,
/>, (/, r celles de to, on a, pour les projections de la vitesse d'entraine-
nient v,. sur les trois axes O xyz (n° 51), V£-+- qz — ry, . . .. Les projec-
tions de la vitesse absolue va du point m sur les memes axes sont done x' -h X °r -h q z — ry, . . ., et Ton a
Ta V« ^-qz — ry )°- -+- (/ 4- V £ -+- r x — p z f-
-i-(z'+V!-hpy — qxy-].
Cette expression permettra de calculer Ta en fonction de qi, q-i, 9k) q'\i q'-i, •••> q'k et de t? car Jes coordonnees x, y, z des differents j)oints sont fonctions de ql} q1} qk et peut-etre de t, tandis que V£,
V", V®, p, q, r sont des fonctions connues du temps.
4o5. Exemple. — On considere un axe vertical fixe Oy et un plan P passant par cet axe et tournant autour de lui avec une vitesse angulaire constante to. Trouver le mouvement d'une barre homogene pesante mobile sans frottement dans ce plan.
11 s'agit de trouver le mouvement relatif de la barre par rapport aux axes Ox et Oy traces dans le plan mobile P. La position de la barre par rapport a ces axes est definie par trois parametres independants : les coordonnes t) du centre de gravite G et Tangle 0 de la barre GA avec la
parallele Gx{ a Ox. La vitesse absolue vn d'un point m de la barre est la
rrsultante de sa vitesse relative vr situee dans le plan xOy et de sa vitesse
d'entrainement v,.\ cette derniere vitesse est ceile que possederait le point in s'il <;tait invariablement lie au plan mobile : elle est done egale i tax et perpendiculaire au plan xOy, x etant l'abscisse du point m. La \itesse relative et la vitesse d'entrainement sont done rectangulaires, et Ton a
la demi-forcc vive absolue de Ta est done
Galculons separernent ces deux termes. Le mouvement relatif de la barre est le mouvement d'une barredansun plan xOy: sa force vive dans ce mouvement est, d'apres le theoreme de Kcenig.
S m$% = M( £'2 -+- fx'a ■+• A2 8'2 ),
MA2 etant le moment d'inertie de la barre par rapport a son centre G.
D'autre part, 'Lmv\ est egal a w'-I/w^-; la somme Zmx2 est le moment d'inertie par rapport a Oy qui est egal au moment d'inertie Zmx], par rapport a l'axe parallele Gj"i, augmente du produit de la masse totale par le carre de la distance des axes Oy et Gyif soit M£2; si Ton appelle r la
JC
