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sous cette forme elles expriment la propriete suivante :
Theoreme. — Le centre de gravite du systeme se meut comme un point materiel, qui aurait pour masse la masse totale du systeme, et auquel seraient appliquees des forces egales et par alleles aux forces exterieures.
Ge theoreme, dont nous avons deja fait usage, a, entre autres, cet int^ret qu'il donne une r^alite a la th6orie du mouvement d'un point materiel. II a recu le nom de theoreme du mouvement du centre de gravite. Ge theoreme a et^ indique par Newton dans des cas particuliers.
327. Exemples. — i" Pas de forces exterieures. — L'hypoihese la plus simple qu'on puisse faire est que le systerne n'esL soumis a aucune force exterieure; le centre de gravite" est alors anime d'un mouvement rectiligne et uniforme. Si l'on admet, par exemple, que les actions des ctoiles sur le systerne solaire sont nulles, le centre de gravite de ce sjsteme, qui est place" tres pres du Soleil, est anime d'un mouvement rectiligne uniforme.
2° Systerne pesant dans le vide. — Prenons maintenant un svsteme de points pesants lances dans le vide; quelles que soient les deformations et les liaisons int^rieures du systerne, le centre de gravite decrit une parabole d'axe vertical; en effet, les diverses forces exterieures sont verticales; transporters au centre de gra-
vite, elles ont pour resultante l*mg == le centre de gravite se
d^place done comme un point pesant de masse «7Tt. Par exemple, si une bombe est lancee dans le vide et eclate a un certain instant, le centre de gravite des fragments continue a decrire la memc parabole, car les forces d^veloppces par l'explosion sont interieures. De meme, si un etre vivant est lanc6 dans le vide sous Taction de la pesanteur, son centre de gravite decrit une parabole et les efforts musculaires qu'il peut faire ne modifient pas la trajectoire du centre de gravite, car ces efforts sont des forces int£rieures.
3° Attraction proportionnelle a la distance. — Soit encore un systerne de points materiels attires, par un centre fixe O, proportionnellement aux masses et aux distances r. Les forces exterieures sont les attractions centrales fmr; transportons ces forces au centre de gravite" G : nous avons vu en Statique que la resultante de ces forces est dirigee suivant GO et a pour valeur f.CPCi.GO] le centre de gravite se d^place done comme un point materiel attire par O proportionnellement a la distance; il decrit une ellipse ayant O pour centre.
Remarque. — Dans les deux derniers exemples nous avons pu trouver le mouvement du centre de gravis, sans rien connaitre des liaisons et des forces inlerieures : cela tient a ce que, dans ces cas, les seconds membres des equations (3) nc dependent que de
tq, £. On pent alors effectuor l'integralion de ces Equations sans
connaitre les autres equations du mouvement. En general, il n'en sera pas ainsi; les seconds membres des equations (3) dependront des coordounees de tons les points du systeme et ces equations ne donneront qu'un renscignement sur le mouvement. Ge cas se presente, par exemple, dans le probleme du mouvement de deux points s'attirant l'un i'autre, et attires par un centre fixe suivant la loi de Newton; la resullante des forces exterieures au systeme des deux points, transporters au centre de gravite, depend des coordonnecs des points etne depend pas seulementdes coordonnees du centre de gravite.
i" Marche (Delaunay, Mecanique). — Go name nous venons deja den donner un exemple, le theoreme du mouvement du centre de gravite s'etend aux etres vivants. La volonte met en jeu des actions musculaires qui sont des forces interieures, deux a deux egales et opposees, et qui n'ont aucune influence sur le mouvement du centre de gravite. Aussi n'est-ce qu'en reagissant sur des corps exterieurs qu'un etre vivant peut modifier le mouvement de son centre de gravite. Imaginons, par exemple, un observateur debout sur un plan de glace horizontal parfaitement poli : les forces exterieures agissant sur le corps de I'observateur sont des forces toutes verticales, le poids et les reactions normales de la glace. Si I'observateur est d'abord immobile et veut ensuite se mouvoir. son centre de gravite se meut corame un point materiel d'abord immobile, sur lequel agit une force verticale : il decrit une verticale fixe; les efforts musculaires ne modifient done pas la position de la projection horizontale du centre de gravite, qui ne peut que s'elever ou s'abaisser. La marche serait alors impossible; elle ne devient possible qu'a cause du frottement. Lorsque, sur un sol non poli, un homme, d'abord immobile, avance une jambe I'autre tend a reculer pour que la projection horizontale du centre de gravite ne change pas; mais la seconde jambe ne peut reculer qu'en glissant sur le sol; e'est alors que se developpe une reaction oblique du sol due au frottement et dirigee d'arriere en avant. Gette reaction, transported parallelement a elle-meme au centre de gravite, determine son mouvement en avant.
5° Recul des amies a feu. — Supposons une arme a feu horizontale de masse M : soient m la masse du projectile et \x la masse d'une particule de poudre ; avant la combustion de la poudre, la vitesse du centre de gravite est nulle; immediatement apres, elle doit Fetre encore, car les seules forces developpees sont interieures, les effets de la pesanteur et des resistances passives pouvant etre regardes comme nuls pendant le temps tres court de la combustion. On aura done, en appelant V, »> et w les valeurs absolues des vitesses initiales de l'arme, du projectile et de la particule u,
M V — mv — 2 ;jl ir = o,
car les vitesses des particules et elu projectile sont evidemment de sens contraire a celles de l'arme. Le signe S indique une sommation etendue a toutes les particules de la charge; comme on ne connait pas w et que la masse m! = Sjjl de la charge n'atteint pas le quart de m, on peut prendre
approximativement w egal a la moyenne algebrique — - — : on a ainsi lequation
V( 2 M ■+■ m ) = r ( 2 m -t- in ),
qui donne le rapport des vitesses V et v.
6° Exercice. — Sur un plan horizontal parfaitement poli est place un brin de pail le rectiligne AB de longueur il et de masse m (Jig. 1 83 ) ; un insecte M de meme masse, regarde comme un point, est d'abord immobile
Fig. 1 83.
en A; a Pinstant t = o, il se met a marcher de A vers B, en avancant le long de AB d'un mouvement uniformement accelere (AM == at2); quel est le mouvement du systeme ?
Les seules forces exterieures etant les poids et les reactions normales du plan horizontal, la projection horizontale du centre de gravite reste fixe. De plus, il est evident, par raison de symetrie, que le brin de paille AB ne peut que glisser le long de sa direction primitive. Prenons cette direction pour axe Ox, appelons x et x' les coordonnees du milieu G de AB et du point M, x0: x'0 les valeurs de ces coordonnees au temps t — o. Nous aurons
Comme
OC — OC — • / — S — CI t*" j OC q '-:-=- 0C() / .
on a done
at* , , aV-
X — Xq — 5 X — X o ■
La reaction du brin de paille sur Pinsecte s'obtient immediatement : en appelant X cette reaction et ecrivant Pequation de mouvement de M, on a
m —j— = X. X = ma.
dt* '
328. Demonstration dn theoreme des moments des quantites de mouvement ou moments cinetiques. — Revenons aux Equations ( i ) ;
tnultiplions la premiere par — j, la deuxieme par x, et ajoutons, nous aurons
equation qu'on peut ecrire
supposons ecriles les equations analogues pour tous les points du systeme et ajoutons-lcs, membre a membre, il nous viendra
mais 11(xY — J'X, ■) represente la so mine des moments de toutes les forces interieures par rapport a Oz; cette expression est done nulle, puisque ces forces sont deux a deux egales et directement opposees. Nous arrivons ainsi a l'equation
et nous pouvons 6noncer le theoreme suivant :
Theoreme. — La derivee, par rapport au temps, de la somme des moments des quantites de mouvement des points du srsteme. par rapport a un axe fixe quelconque, est eg ale a la somme des moments des forces exteiueures par rapport a cet axe.
329. Theoreme des aires. — Suppossons que la somme des moments des forces exterieures par rapport a un axe soit constamment nulle; en prenant cet axe pour axe des z, le theoreme precedent devient
La somme des moments des quantites de mouvement par rapport a cet axe est alors constanle.
On dit aussi que le theoreme des aires s'applique a la projection du mouvement sur un plan perpendiculaire a cet axe. Projetons
