CHAPITRE XVIII
los points mobiles M,, M>, . . . , M, ... sur le plan xOy perpendiculaire a l'axe, en pt. p.2, . . . . p, . . . , el d^signons par A4, A2. .... A, . . . les aires balayees par les rayons vecteurs 0/>i,
Op*, • • • i OjD, • . . , nous aurons
et, par consequent.
dx
L'equation (4) s'^crit done
ou, en integrant.
Done la somme des produits obtenus en mullipliant les aires balayees, par les masses correspondantes, varie proportionnelleinent an temps. La constante des aires, C, est le double de la variation de 1/nA pendant Punite* de temps.
Si, en particulier, le systeme n'est soumis a aucune force exterieure, le principe des aires s'applique a la projection du mouvement sur un plan quelconque autour d'un quelconque des points de ce plan : e'est ce qui se presente pour le systeme solaire, si l'on neglige les actions des etoiles.
Le theoreme des aires, quoiqu'il fut une consequence immediiile des principes de Newton, a etc enoncc bien apres lui par Euler, d'Arcy et Daniel Bernoulli ( i 746).
Application a un eire vivant. — Si l'on applique le th^oreme precedent a un observateur debout sur un plan de glace horizontal, on voit que le theoreme des aires a lieu autour de tous les points de ce plan; en efTet, les forces ext6ricures, poids et reactions du plan, agissant sur l'observateur, etant toutes verticales, la somme de ieurs moments est niille par rapport a un axe vertical Oz quelconque : l'equation (4) a done lieu quel que soit le point O dans le plan horizontal. Si l'observateur est d'abord immobile, les
quantity ^ •> ^ sont d'abord nulles : alors C = o. Lorsque ensuite
l'observateur veut se mouvoir, C reste mil : une partie de son corps ne peut tourner dans un sens sans qu'une autre partie tourne en sens inverse (Delaunay). Mais il faut remarquer que, malgre cette condition, Tobservateur d'abord immobile sur le plan pourrait, par des mouvements successifs des diffe>entes parties de son corps, se retrouver dans une position finale deduite (en apparence) de la position initiale par une rotation d'ensemble autour de la verticale du centre de gravite. La possibility de tels mouvements resulte des exemples que nous traitons plus loin, notamment des exemples 3° et 4° du n° 333.
