CHAPITRE XXIV

la sommc etant Vendue a tous les points. Les quantity J Jr, Jsont des fonctions connues de t; en posant

K =-Sm(a;J.r + (yJr + z 3Z) = — M(|Ja..+ T,Jv-h £JS),

on voit que la somme des Iravaux virtuels des forces centrifuges est oR; nous avons ecrit autrement la fonction K en introduisant la masse totale M du systeme et les coordonn^es |, yj, £ du centre de gravite G par rapport aux axes Oxyz. On voit que

K = — MJ OG

— MJ.OGcosJOG.

Grace a 1'introduction de ces forces centrifuges, on peut regarder les axes Ox\y\ZA comme lixes et appliquer les equations

Fig. a65.

de Lagrange au mouvement par rapport a ces axes, devenu un mouvement absolu. Appelons T la demi-force vive du sjsteme dans ce mouvement par rapport aux axes Ox\j'iZ\ ; les equations du mouvement sont

dt \ dq[t ) dqv ~ ^V dqv '

Le lerme provient des forces centrifuges; le travail virtuel

de ces forces etant £gal a 6K devient, en effet; en fonction des variables y , , 72; ....

dqk

oq/;

Si les forces donnees derivent d'une fonction de forces U

le second in em b re est,

Calcul de T. — La vitesse d'un point m par rapport aux axes Ox^yiZi regardes comme fixes est la r^sullante de sa vitesse

relative vr par rapport aux axes Oxyz et de sa vitesse d'entraine-

merit v'e par ces axes.

La vitesse vr a pour projections sur Oxyzles de>iv£es x\ y' , z' :

la vitesse v'e a pour projections sur ces memes axes qz rj\ rx — pz, py — qx\ car, dans le mouvement du triedre Oxyz, par rapport a OxiyiZi, l'origine O est fixe, p, q, r d^signenL comme plus haut, les eomposantes suivant Oxyz de la rotation

instantan^e co du triedre mobile Oxyz.

On a done

T = ~ 2 m f ( x -+- q z — r j)2 + (/ -h rx — p z)°- + ( z' p y — q x)-\, ce que I'on peut ecrire

en posant

V — *Lm[x'{qz — ry) ■+■ y'(rx — pz) -h z {py — yar)].

La quantity T, est la demi-force vive du systeme dans son mouvement relatif par rapport aux axes Oxyz; elle s'exprimera directement au moyen des variables qv et de leurs derivees q'v.

La quantite § repr^sente la demi-force vive du systeme due a

la rotation d'entrainement autour de l'axe instantane Oco du triedre Oxyz \ elle a done pour expression

H tHant le moment d'inerlie, a l'instant t, du systeme materiel

par rapport a l'axe Oco, et co la grandeur de la rotation d'entrainement.

Enfin, la valeur de "V peut s'ecrire

V = p^m{yz'— zy') -h q%m' zx' — xz') + rZm{xy' — yx')\

le vecteur Oa ajant pour projections sur les axes mobiles

2 m (yz — zy' ), S m(zx' — xz' ) e t 2 m ( a?y — jk#' )

est le moment cin^tique resultant relatif des divers points par rapport au point O ; on a alors immediatement

LV = Oa.Ow = w a cos ojot.

L'avantage que pr^sentent ces formes geomeHriques, donnees aux quantites K, Tr, V, consiste en ce que, dans chaque probleme particulier, elles fournissent directement les expressions de ces quantites en fonction des et des sans que Ton doive passer par les transformations de coordonn^es.

4o8. Application au mouvement relatif d'un systeme pesant par rapport a la Terre, en tenant compte du mouvement de la Terre. — Ima-

ginons un systeme pesant S assujetti a des liaisons donnees en un point O de la surface terrestre; nous nous proposons d'etudier son mouvement relatif par rapport a des axesOarK-s He's a la Terre et entraine's par elle dans son mouvement de rotation autour de la ligne des poles PP' Si, d'apres la methode de Gilbert, on mene par 0 des axes Ox\yxz\ de directions fixes dans l'espace, le mouvement du triedre O xyz par rapport a ces axes est une rotation oj, egale a celle de la Terre, s'effectuant autour d'un axe Oco parallele a la direction sud-nord P'P.

Les quantites Tr, LX> se calculeront comme nous Tavons explique,

en particulier, Q est egal a - II to2, II etant le moment d'inertie, a l'instant /,

du systeme materiel S par rapport a l'axe Oto. Calculons d'autre part U, tonction des forces reellement appliquees (attraction de la Terre j, et K. I >n sail que le poids mg d'un point quelconqne du systeme S est la resul-

tante de Tattraction et de la force centrifuge <I> de grandeur mio-p (n° 424). I'u adoptant la maniere de voir de Gilbert, nous regarderons Vaccele-

ration g comme constante en grandeur et en direction par rapport a In Terre dans tnute Vetendue du systeme S, dont les dimensions sont

supposees tres petites. La direction constante de g est la verticale descendante ou nadirale OV au point O. Les forces reellement appliquees sont

les attractions A de la Terre sur les differents points m du systeme S. Or,

commc mg est la somme geometrique de A et de <I>, A est la difference

geometrique de mg et de <I>; pour un deplacement quelconque imprime au

point m, le travail de A est la difference entre le travail de mg et celui

de %. done, enlin, la fonction des forces U d'ou derivent les forces

reellement, appliquees A est la difference de la fonction de forces donr.

derivent les poids et de celle dont derivent les forces <I>. La hauteur du centre de gravite G au-dessus du plan horizontal du point 0 etant

OG cos GOV, les poids derivent de la fonction de force M ^ OG cos GOV ou M est la masse totale du systeme.

Les forces $ sont normales a Taxe terrestre PP' et p designe la distance

du point m a cet axe; le travail elementaire d'une force $ est

m to- o do = a — \

l'ensemble des forces derive done de la fonction de forces

Hi designant le moment d'inertie du systeme, £ in p- , par rapport a i'axe PP' de la Terre. Done la fonction U, difference des precedentes, est

U = M^OGcosGOV — -Hlto2

Mais nous pouvons calculer Hi, moment d'inertie par rapport a PI'', en fonction de H, moment d'inertie par rapport a la parallele Ooj a PP'; en cfl'et, d'apres un theoreme connu, si Ton appelle dx et d les distances GC^ et GQ du centre de gravite aux axes paralleles PP' et Oto, on a (n' 317)

Ht— H = M(dl— d-i).

D'autre part, dans le triangle GQQi, on a, en appelant 8 la distance QQi evidemment egale a la distance OH du point O a l'axe de la Terre,

d\ — d- — o- — 2 cos GQQ i ;

la quantite ^/eosGQQi est la projection de QG sur QQi ; e'est done aussi la

projection de OG sur QQ, et sur sa parallele OR, e'est-a-dire OG cos GOR. Done

H, = H m(o2— 20 OGcos GOr).

D'apres cela,

U = M fi-OG cos GOT — - H w2 -4- M oj2 0 OG cos GOR — - w2 M 8*.

Pour evaluer K, observons que l'origine 0 du systeme de comparaison Oxyz decrit, par suite de rotation de la planete, un cercle de rayon o

autour de PP' avec une vitesse angulaire w. L'acceleration J a done pour grandeur oo2o et elle est dirigee de O vers R; done, d'apres la valeur

g^nerale de K, — MJ . OG cos jToG, on a

K = — M io~ o OG cos GOR .

On trou\ e enfin

U + K = M^OG cos GOT — - Hoj2— - co2M o2

ou le dernier terme est une const ante qui disparaitra dans les differentiations. On a d'ailleurs,

T = TV-f- — V = Tr-+- V 4- £ Hoys

d'apres la valeur de ^. Si Ton appelle ql} q>, . . . , qk les parametres definissant la position du systeme pesant par rapport aux axes Qxyz, les equations du mouvement relatif sont alors

Si Ton remplace T et U + K par leurs valeurs, il se produit encore d'importantes reductions. D'abord ^ = -II to- ne depend que de la position

APPBLL. — Traiti dc Martinique. 11. 24

actuelle des points du systemc et non de leurs vitesses; cette quantite ne contient done pas q\, q'2, q'k et -r-^- est nul. Ensuite, le terme

d& 1 • 1 / n - 1 I r)Hu)z .

— du premier membre de (a) est egal au terme — — : du second,

dqv r 2 dqH

rJq

ibre de (a) est egal II reste done I'equation

^ <*(Tr-+-^) ^(Tr-h^) M^ ^(oGcosGOV

dt dq{, dq,, dq,,

Ge sont la les equations definitives du mouvement relatif d'un systeme pesant a la surface de la Terre ; pour les ecrire, on voit qu'il suffit de cal-

culer Tr, V et OG cosGOV.

459. Exemple, — On corps solide homo gene pesant de revolution est suspendu par un point O de son axe de revolution OZ ; cet axe est, de plus, assujetti a rester dans un plan fixe par rapport a la Terre. Mouvement du solide par rapport aux objets terrestres, en tenant compte du mouvement de rotation de la Terre.

Soient OXYZ les axes principaux d'inertie du solide entraine avec lui, Oxyz des axes lies a la Terre par rapport auxquels on cherche le mouvement. Nous choisirons comme plan des xy le plan dans lequel se meut OZ et, pour axe Ox, la projection sur ce plan d'une parallele O w au vecteur representatif de la rotation terrestre : Ou est parallele a la direction sud-nord de l'axe du monde. Nous prenons Oz dirige du meme cote que Ow par rapport au plan xOy. Le centre de gravite G est suppose sur la partie positive OZ de l'axe de revolution a une distance OG == / du point fixe.

La position du solide par rapport aux axes Oxyz depend de deux parametres, par exemple des angles d'Euler © et que font les axes XYZ avec

xyz; Tangle appele 6 est ici egal a car zOZ = ^«

Calculons Tr et V. La quantite Tr est la demi-force vive du solide par rapport aux axes Oxyz\ le mouvement du solide par rapport a ces axes est le mouvement d'un solide autour d'un point fixe; si done nous appelons P, Q, R les composantes suivant les axes principaux OXYZ de la

rotation instantanee Q du corps par rapport aux axes Oxyz, nous avons, d'apres les formules generales (n° 382),

Calculons de meme V. En appelant a la grandeur du moment resultant <s

par rapport a 0 des quantites de mouvement relatif par rapport aux axes Oxyz, on a

ft ...... >